La topologia dell'ordine ha una caratterizzazione universale?

[marco2132k]

Ciao. Il titolo dice tutto, credo. Se \( P \) è un poset, la topologia dell'ordine su \( P \) è la topologia che ha per base gli intervalli del tipo \( \left]a,b\right[ \), e tutti gli intervalli del tipo \( \left[\bot,b\right[ \) e \( \left]a,\top\right] \) qualora \( P \) ammetta un minimo \( \bot \) e un massimo \( \top \), al variare di \( a,b\in P \).

Esiste un caratterizzazione di questa topologia come "la più grezza che [...]"/"la più fine che [...]", o esiste una caratterizzazione universale di un altro tipo?

[megas_archon]

Dato uno spazio topologico puoi definire un preordine detto "di specializzazione" sullo stesso insieme di punti, ponendo \(x\le y\) se \(\overline{\{x\}}\subseteq\overline{\{y\}}\); allora, la topologia superiore è la topologia meno fine che induce il preordine di specializzazione. Per la topologia d'ordine come l'hai definita tu, non so.

Vedi anche la nozione di spazio di Alexandroff: https://en.wikipedia.org/wiki/Alexandrov_topology

[otta96]

Affinchè quella sia una base, $P$ deve essere un ordine totale, non basta che sia un poset.
Comunque non lo so, non mi risulta che ci sia, se non qualcosa di tautologico tipo "la meno fine in cui gli insiemi che hai detto sono aperti".
Il problema è che non ci sono funzioni canoniche che legano un insieme totalmente ordinato a uno spazio topologico.

[marco2132k]

"otta96":Affinchè quella sia una base, P deve essere un ordine totale, non basta che sia un poset.

Quello che non è vero se \( P \) non è totalmente ordinato è che \( P \) si scrive come unione di intervalli di quel tipo, giusto? Perché mi sembra che sia sempre vero che presi \( A \) e \( B \) intervalli di quel tipo, e \( x\in A\cap B \), esiste sempre un intervallo \( C \) tale che \( x\in C\subset A\cap B \).

Cmq strano che non ci sia nulla.

[otta96]

"marco2132k":Perché mi sembra che sia sempre vero che presi \( A \) e \( B \) intervalli di quel tipo, e \( x\in A\cap B \), esiste sempre un intervallo \( C \) tale che \( x\in C\subset A\cap B \).

L'intervallo esiste, ma deve esistere aperto, il che non è garantito.
A me non sembra nemmeno troppo strano, un po' come gli spazi metrici per cui vale un po' la stessa cosa (o no?).

[j18eos]

Così, ad occhio: direi che serve l'esistenza dell'estremo inferiore per ogni coppia di elementi distinti!

[marco2132k]

"otta96":L'intervallo esiste, ma deve esistere aperto, il che non è garantito.

Mm, ho fatto tutti e sei i casi per scrupolo. Se \( x\in A\cap B \) per:
[list=6]
[*:3nnspgfn] \( A = ]a_1,b_1[ \), \( B = ]a_2,b_2[ \) allora è \( x\in ]a_1\vee a_2,b_1\wedge b_2[\subset A\cap B \);[/*:m:3nnspgfn]
[*:3nnspgfn] \( A = [\bot,b_1[ \), \( B = [\bot,b_2[ \) allora è \( x\in [\bot, b_1\wedge b_2[\subset A\cap B \);[/*:m:3nnspgfn]
[*:3nnspgfn] \( A = ]a_1,\top] \), \( B = ]a_2,\top] \) allora è \( x\in ]a_1\vee a_2,\top]\subset A\cap B \);[/*:m:3nnspgfn]
[*:3nnspgfn] \( A = ]a_1,b_1[ \), \( B = [\bot,b_2[ \) allora è \( x\in ]a_1,b_1\wedge b_2[\subset A\cap B \);[/*:m:3nnspgfn]
[*:3nnspgfn] \( A = ]a_1,b_1[ \), \( B = ]a_1,\top] \) allora è \( x\in ]a_1\vee a_2,b_2[\subset A\cap B \);[/*:m:3nnspgfn]
[*:3nnspgfn] \( A = [\bot,b_1] \), \( B = ]a_1,\top] \) allora è \( x\in ]a_2,b_1[\subset A\cap B \).
[/*:m:3nnspgfn][/list:o:3nnspgfn]

Qualora esistano i \( \wedge \) e i \( \vee \) suddetti. Se esistono, è vero che valgono le inclusioni che ho scritto mi pare.

[otta96]

In 1), e se $x$ fosse proprio $b_1\wedge b_2$?

[marco2132k]

Nono, ma hai ragione tu. Se \( P \) è linearmente ordinato tutto funzia perché \( b_1\wedge b_2 = \min\{b_1,b_2\} \) ecc., mentre se non lo è può essere appunto che \( b_1\wedge b_2\neq b_1 \) e \( b_1\wedge b_2\neq b_2 \).

Non avevo mai pensato a tutti i dettagli effettivamente.