La topologia dell'ordine alfabetico sul piano complesso

[dissonance]

Mi è venuta in mente una domanda di carattere topologico, della quale vorrei discutere sul forum.

Sia $X$ un insieme con un ordine totale (considero ordini stretti) $<$. Per comodità supponiamo che non abbia minimo né massimo.
Definendo in maniera ovvia gli intervalli $(a, b), [a, b), (a, b], [a, b]$ e le semirette $(a, infty), [a, infty), (-infty, b), (-infty, b]$, la famiglia degli intervalli aperti costituisce la base di una topologia, che ho visto col nome di order topology (topologia dell'ordine? come suona male!). Questa topologia è sempre di Hausdorff, come è facile verificare.

Esaminiamo ora $CC$. Come è noto qui non c'è un ordinamento che rispetti la struttura algebrica. Ma questo non significa che non ci sia un ordinamento totale, naturalmente: diremo allora $x+iyalfabetico o lessicografico.

Questo ordinamento ricorda parecchio quello familiare di $RR$. In particolare verifica le due proprietà (dei continui lineari):
P1) Ogni parte dotata di maggioranti è dotata di estremo superiore; (proprietà del sup)
P2) Per ogni coppia di elementi distinti c'è sempre un elemento compreso tra i due. (proprietà di densità).


Domanda. Che cosa si riesce a recuperare dei classici teoremi sulla topologia della retta reale, in $CC$ con questa order topology? Ad esempio, recuperiamo il teorema di Bolzano-Weierstrass (o quello di Heine-Borel, a seconda di quale definizione di compattezza vogliamo usare)? A me pare di si.

[fu^2]

beh come struttura puoi associare $CC$ con $RR^2$ quindi la caratterizzazione dei compatti rimane uguale. Usando come base della topologia gli intervalli aperti. Concordi con questa supposizione?

[Studente Anonimo]

"fu^2":beh come struttura puoi associare $CC$ con $RR^2$ quindi la caratterizzazione dei compatti rimane uguale. Usando come base della topologia gli intervalli aperti.

In che senso? La topologia di cui parla dissonance è ben diversa da quella usuale in $RR^2$, infatti a quanto vedo ogni aperto "bidimensionale" si estende all'infinito. Per di più non mi pare una topologia indotta da una metrica, quindi a mio avviso non è evidente riconoscere i compatti.

[Studente Anonimo]

Secondo me con la topologia dell'ordine in $CC$ i compatti sono le unioni finite di insiemi della forma $[a,b] xx {c}$ con $a,b,c in RR$ e $a le b$. Quindi Bolzano-Weierstrass vale perché se consideriamo una successione in un compatto, possiamo scegliere un sottoinsieme del compatto del tipo $[a,b] xx {c}$ tale che vi stiano infiniti termini della successione e scegliere questi infiniti termini come sottosuccessione. Questa successione ammetterà una sottosuccessione convergente perché la topologia indotta su $[a,b]$ è quella usuale.

[dissonance]

@fu: No, come dice anche Martino questa topologia è proprio diversa da quella euclidea di $CC$. Per la verità si tratta di topologie non confrontabili. Geometricamente, qui un intervallo aperto è una striscia verticale, con i due bordi entrambi "mezzi aperti e mezzi chiusi". Quindi qualcosa di né aperto né chiuso in topologia euclidea.

Se poi mi dici: questa topologia e quella della retta reale sono omeomorfe? ti rispondo: ottima domanda, me lo sto chiedendo anche io.

@Martino: Sono d'accordo con te sul fatto che Bolzano-Weierstrass deve valere -sostanzialmente- per pigeonhole.
Ma perché quegli insiemi così brutti? Io pensavo di poter dire:
sia ${u_n+iv_n}_(n=1)^infty$ una successione limitata (=contenuta in un intervallo). Allora esiste una estratta convergente.

(nota: sto parlando di successioni convergenti, e in effetti qui siamo in un Hausdorff, quindi no problem. Inoltre questo è pure a base numerabile.)

______________________________________-
P.S.: Aaaaahnnn... ho capito!!! @Martino: Per Bolzano-Weierstrass intendi: la compattezza implica la compattezza per successioni.
Io invece pensavo alla cosa che ho scritto sopra. Ecco perché non ci siamo capiti.

[dissonance]

@Martino: Se vedi ho aggiunto un P.S. al mio post precedente.

Io veramente avevo pensato che gli intervalli chiusi e limitati $[x+iy, u+iv]$ fossero compatti. Perché, lasciando stare per un attimo Bolzano-Weierstrass, io direi che possiamo ripercorrere pedissequamente la dimostrazione del teorema di Heine-Borel (*): prendiamo un ricoprimento aperto, fatto da intervalli che tanto sono una base della topologia. Ora usando le proprietà dell'ordine ne estraiamo un sottoricoprimento finito. Non mi ricordo i dettagli, poi vedo sul libro, ma a intuito mi pare che funzioni.

___________________________
(*) Voglio dire, il teorema secondo cui ogni intervallo chiuso e limitato di $RR$ è compatto per ricoprimenti.

[Studente Anonimo]

Mettiamoci d'accordo (non vorrei mai che non ci intendessimo sulle definizioni)

(a) Compatto = ogni ricoprimento aperto ammette un sottoricoprimento finito.
(b) Teorema di Bolzano-Weierstrass: ogni successione limitata ammette un'estratta convergente (in effetti io pensavo invece alla compattezza per successioni, come hai ben dedotto).
(c) Teorema di Heine-Borel: ogni intervallo chiuso e limitato è compatto per ricoprimenti.

Ma che significa "compatto per ricoprimenti"? E' forse la mia definizione di compatto (la (a)) ?

"dissonance":avevo pensato che gli intervalli chiusi e limitati $[x+iy, u+iv]$ fossero compatti.

Intendi il segmento di estremi quei due punti compresi? Ma se ho un insieme non contenuto in una retta verticale posso sempre considerare un ricoprimento di aperti del tipo ${x} xx (a,b)$ che sono disgiunti, e da qui non estrarrò mai un sottoricoprimento finito.

[dissonance]

E si, ho lasciato tutto troppo sul vago e difatti non ci stiamo capendo sulle definizioni.
Dunque, "compatto per ricoprimenti" è un modo per dire "compatto" nel senso a) del tuo post, e anche per Bolzano-Weierstrass e Heine-Borel adesso intendiamo la stessa cosa.

Invece ho fatto confusione sugli intervalli. Facciamo così: indichiamo con $-<$ l'ordine alfabetico di $CC$. Lo ripeto per la massima chiarezza:
diremo $x+iy- Con il simbolo di $[x+iy, u+iv]_(-<)$ indichiamo allora un intervallo chiuso nel senso di questo ordine. Quindi:
$[x+iy, u+iv]_(-<)={z\inCC\ :\ x+iy-
La congettura allora è questa:
a) (Heine-Borel) Gli intervalli $[x+iy, u+iv]_(-<)$ sono compatti (per ricoprimenti aperti)? Credo di sì;
b) (Bolzano-Weierstrass) Diremo che una successione ${z_n}$ di numeri complessi è limitata nel senso di $-<$ se è contenuta in un intervallo chiuso e limitato di tipo $[x+iy, u+iv]_(-<)$.
Dalle successioni limitate nel senso di $-<$ è possibile estrarre sottosuccessioni convergenti nella topologia dell'ordine $-<$? Credo di sì anche qui.

E per il momento mi fermerei qui. (Se dovessimo avere successo, poi potremmo provare a caratterizzare anche i connessi, oltre che i compatti. Anche questo mi sembra fattibile e anzi, forse è pure più facile).

_____________________________________
(*) Spero si capisca che a sinistra del "se e solo se" c'è un $-<$ "minore distorto", a destra ci sono dei $<$ "minore nel senso di $RR$".

[Fioravante Patrone1]

"dissonance":
a) (Heine-Borel) Gli intervalli $[x+iy, u+iv]_(-<)$ sono compatti (per ricoprimenti aperti)? Credo di sì;

Ripeto quanto detto da Martino, con un esempio.
Prendo $[0+i0,1+i1]$.
Le rette verticali (indicate come $r_t$, $t$ reale) sono aperti in questo spazio topologico (giusto?)
Allora prendo come ricoprimento l'insieme delle rette $r_t$, con $t\in [0,1]$.
Mi sembra difficile cavarne fuori un sottoricoprimento finito.

E, in effetti, se prendo $1/n + i n$ che sta dentro all'intervallo sopra indicato mi sa che fa caldo se voglio cavarne fuori una sottosuccessione convergente (sempre in questa topologia).

[dissonance]

"Fioravante Patrone":
Le rette verticali (indicate come $r_t$, $t$ reale) sono aperti in questo spazio topologico (giusto?)

Eh sì, direi di sì. I segmenti aperti verticali sono intervalli aperti, di tipo $(x+iy, x+iv)_(-<)$ con $y

Cita

Segnala