La tangente ad una cicloide orninaria
Ciao.Sono nuova del forum e vi saluto.
Ho frequentato un corso di STORIA DELLA MATEMATICA(da Leibniz a Cauchy) e non riesco risolvere due esercizi.
1.Trovare in maniera puramente geometrica la tangente ad una cicloide ordinaria e darne la dimostrazione.
2.Dimostrare col pricipio di Cavalieri che l`area di una cicloide e` tre volte quella del cerchio generatore.
Grazie per aver visitato il mio topic.
Ho frequentato un corso di STORIA DELLA MATEMATICA(da Leibniz a Cauchy) e non riesco risolvere due esercizi.
1.Trovare in maniera puramente geometrica la tangente ad una cicloide ordinaria e darne la dimostrazione.
2.Dimostrare col pricipio di Cavalieri che l`area di una cicloide e` tre volte quella del cerchio generatore.
Grazie per aver visitato il mio topic.
Risposte
intanto ti rispondo al primo quesito, con una dimostrazione da ingegnere. Poi fattela "ripulire" da un matematico.
Sfrutteremo le proprietà cinematiche della cicloide, legate a quelle del moto rigido. La proprietà che utilizzeremo del moto rigido è che l'atto di moto (l'insieme delle velocità dei punti del corpo, in un certo istante) è rotatorio rispetto al centro istantaneo di rotazione (il punto che in quell'istante ha velocità nulla). Per una circonferenza che rotota senza strisciare su di una retta (come una ruota), il centro istantaneo di rotazione coincide col punto di contatto tra circonferenza e retta.
Bene, detto ciò, abbiamo tutto quello che serve. Infatti, la tangente alla cicloide in un punto P coinciderà (come direzione) con la velocità di quel punto nell'istante in cui esso occupa quella posizione. Basta trovare questa velocità. Per fare ciò, basta trovare il centro istantaneo di rotazione C, che sta sulla retta r. Per trovarlo, basta individuare la circonferenza a cui appartiene il punto, nel momento in cui il punto sta descrivendo la cicloide, passando per il punto P. Il centro O della circonferenza sta su una retta t parallela alla r, e posta a metà distanza tra retta r e punto di massimo della cicloide. Ciò lo puoi costruire geometricamente, da sola. Poichè il massimo della cicloide è pari al diametro della circonferenza, la sua metà è pari al raggio R della stessa (anche questo si costruisce geometricamente). Costruisci la circonferenza di centro il punto P, e raggio R. Questa circonferenza interseca la retta t nel centro O. Conduci da O la retta ortogonale a r. Il punto di intersezione C tra questa retta e la r è il punto C in cui la circonferenza generatrice tocca la r rotolando. Per quanto detto, questo è il centro istantaneo di rotazione. Il fatto che l'atto di moto è rotatorio a questo punto ci dice che la velocità del punto P è ortogonale alla retta passante per P e C. Non ti resta che tracciarla, e costruire quello ad essa ortogonale passante per P. Questa è la tangente.
Sfrutteremo le proprietà cinematiche della cicloide, legate a quelle del moto rigido. La proprietà che utilizzeremo del moto rigido è che l'atto di moto (l'insieme delle velocità dei punti del corpo, in un certo istante) è rotatorio rispetto al centro istantaneo di rotazione (il punto che in quell'istante ha velocità nulla). Per una circonferenza che rotota senza strisciare su di una retta (come una ruota), il centro istantaneo di rotazione coincide col punto di contatto tra circonferenza e retta.
Bene, detto ciò, abbiamo tutto quello che serve. Infatti, la tangente alla cicloide in un punto P coinciderà (come direzione) con la velocità di quel punto nell'istante in cui esso occupa quella posizione. Basta trovare questa velocità. Per fare ciò, basta trovare il centro istantaneo di rotazione C, che sta sulla retta r. Per trovarlo, basta individuare la circonferenza a cui appartiene il punto, nel momento in cui il punto sta descrivendo la cicloide, passando per il punto P. Il centro O della circonferenza sta su una retta t parallela alla r, e posta a metà distanza tra retta r e punto di massimo della cicloide. Ciò lo puoi costruire geometricamente, da sola. Poichè il massimo della cicloide è pari al diametro della circonferenza, la sua metà è pari al raggio R della stessa (anche questo si costruisce geometricamente). Costruisci la circonferenza di centro il punto P, e raggio R. Questa circonferenza interseca la retta t nel centro O. Conduci da O la retta ortogonale a r. Il punto di intersezione C tra questa retta e la r è il punto C in cui la circonferenza generatrice tocca la r rotolando. Per quanto detto, questo è il centro istantaneo di rotazione. Il fatto che l'atto di moto è rotatorio a questo punto ci dice che la velocità del punto P è ortogonale alla retta passante per P e C. Non ti resta che tracciarla, e costruire quello ad essa ortogonale passante per P. Questa è la tangente.
"Helium":
2.Dimostrare col pricipio di Cavalieri che l`area di una cicloide e` tre volte quella del cerchio generatore.
ciao Helium, è la bellissima dimostrazione di Torricelli.
disegna mezza cicloide e racchiudila in un rettangolo: la base avrà lunghezza $pi*R$, l'altezza 2R. ora devi disegnare una seconda curva, tale che la sua ascissa sia l'ascissa della cicloide + la larghezza di metà del cerchio generatore a tale altezza. è più difficile a dirsi che a farsi, purtroppo non ho tempo di fare un disegno! comunque per darci l'idea, sull'asse x la curva coinciderà con la cicloide, a mezza altezza discosterà dalla cicloide di R e ad un'altezza di 2R coinciderà nuovamente con la cicloide. per il principio di Cavalieri l'area compresa tra questa nuova curva e la cicloide è uguale a quella di metà del cerchio generatore, ossia $piR^2/2$. è inoltre evidente che tale curva divide a metà il rettangolo iniziale, quindi l'area da essa sottesa sarà $pi*R^2$. in definitiva l'area sottesa da mezza cicloide è $3/2 pi R^2$
non so se sono stato chiaro, in caso chiedi lumi e cercherò di spiegarmi meglio.
Vi ringrazio.
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