La proprietà universale dell'insieme di Cantor
Notoriamente, l'insieme di Cantor $C$ è il sottoinsieme di \([0,1]\) costruito a questa maniera: dall'intervallo si rimuove il terzo centrale, ossia il segmento \(\left[\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right]\); a ciascuno dei due pezzi rimanenti si rimuove il terzo centrale, ossia si resta con l'unione
\[\textstyle\left[0,\frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac29,\frac13\right] \cup \left[\frac23,\frac79\right] \cup \left[\frac89,1\right]\] e così via, induttivamente, su ogni segmento del passo \(n\)-esimo.
Altrettanto notoriamente questo oggetto ha molte proprietà topologiche e misura-teoretiche interessanti; la cosa piacevole, però, è che ha anche una proprietà universale, che lo caratterizza a meno di omeomorfismo.
Si tratta, infatti, della coalgebra terminale per il funtore \({\sf Top} \to {\sf Top} : X\mapsto X\sqcup X\). Ciò significa che esiste una funzione continua \(\gamma : C \to C\sqcup C\), con la proprietà che per ogni altra funzione continua \(\xi : X\to X\sqcup X\) esista un'unica \(f : X \to C\), continua, tale che
\[
\begin{CD}
X @>f>> C \\
@V\xi VV @VV\gamma V \\
X\sqcup X @>>f\sqcup f> C\sqcup C
\end{CD}
\] sia commutativo.
Dimostratelo! Buon lavoro.
\[\textstyle\left[0,\frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac29,\frac13\right] \cup \left[\frac23,\frac79\right] \cup \left[\frac89,1\right]\] e così via, induttivamente, su ogni segmento del passo \(n\)-esimo.
Altrettanto notoriamente questo oggetto ha molte proprietà topologiche e misura-teoretiche interessanti; la cosa piacevole, però, è che ha anche una proprietà universale, che lo caratterizza a meno di omeomorfismo.
Si tratta, infatti, della coalgebra terminale per il funtore \({\sf Top} \to {\sf Top} : X\mapsto X\sqcup X\). Ciò significa che esiste una funzione continua \(\gamma : C \to C\sqcup C\), con la proprietà che per ogni altra funzione continua \(\xi : X\to X\sqcup X\) esista un'unica \(f : X \to C\), continua, tale che
\[
\begin{CD}
X @>f>> C \\
@V\xi VV @VV\gamma V \\
X\sqcup X @>>f\sqcup f> C\sqcup C
\end{CD}
\] sia commutativo.
Dimostratelo! Buon lavoro.