La proprietà universale dell'insieme di Cantor

[solaàl]

Notoriamente, l'insieme di Cantor $C$ è il sottoinsieme di \([0,1]\) costruito a questa maniera: dall'intervallo si rimuove il terzo centrale, ossia il segmento \(\left[\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right]\); a ciascuno dei due pezzi rimanenti si rimuove il terzo centrale, ossia si resta con l'unione
\[\textstyle\left[0,\frac{1}{9}\right] \cup \left[\frac29,\frac13\right] \cup \left[\frac23,\frac79\right] \cup \left[\frac89,1\right]\] e così via, induttivamente, su ogni segmento del passo \(n\)-esimo.

Altrettanto notoriamente questo oggetto ha molte proprietà topologiche e misura-teoretiche interessanti; la cosa piacevole, però, è che ha anche una proprietà universale, che lo caratterizza a meno di omeomorfismo.

Si tratta, infatti, della coalgebra terminale per il funtore \({\sf Top} \to {\sf Top} : X\mapsto X\sqcup X\). Ciò significa che esiste una funzione continua \(\gamma : C \to C\sqcup C\), con la proprietà che per ogni altra funzione continua \(\xi : X\to X\sqcup X\) esista un'unica \(f : X \to C\), continua, tale che
\[
\begin{CD}
X @>f>> C \\
@V\xi VV @VV\gamma V \\
X\sqcup X @>>f\sqcup f> C\sqcup C
\end{CD}
\] sia commutativo.

Dimostratelo! Buon lavoro.

[marco2132k]

Provo a buttare giù scherzosamente qualche idea perché l'esercizio mi piace, ma non sono in grado di formalizzare la cosa. La freccia \( \gamma \) può essere definita per casi, mappando un punto \( c\in C \) nel punto \( (c,1) \) di \( C\sqcup C \) se \( c < \frac 12 \), o nel punto \( (c,2) \) se \( c > \frac 12 \).

Dato un elemento \( x = (x_0,i)\in X\sqcup X \), denoto con \( x_X \) l'elemento \( x_0 \), e con \( x_{\#} \) il numero \( i \). L'idea è di definire \( f \) ancora a tratti, come
\[
f\colon x\mapsto
\begin{cases}
\text{qualche $ c < \frac 12 $} & \text{se $ \xi(x)_{\#} = 1 $}\\
\text{qualche $ c > \frac 12 $} & \text{se $ \xi(x)_{\#} = 2 $}\\
\end{cases}
\] Allora, siccome
\[
f\sqcup f\circ\xi(x) = f\sqcup f(\xi(x)_X, \xi(x)_{\#}) = (f(\xi(x)_X),\xi(x)_{\#})
\] affinché il diagramma disegnato commuti deve essere \( f(x) = f(\xi(x)_X) \) per ogni \( x\in X \). Questo essenzialmente perché è
\[
\gamma\circ f(x) =
\begin{cases}
(f(x), 1) & \text{se $ \xi(x)_{\#} = 1 $}\\
(f(x), 2) & \text{se $ \xi(x)_{\#} = 2 $}
\end{cases}
= (f(x),\xi(x)_{\#})
\]
Da qui ovviamente non ho idea di come procedere (non mi è ovvio che una tal \( f \) esista, né tantomeno che sia unica). È anche ben più probabile che la soluzione non richieda la costruzione esplicita di \( f \).

[solaàl]

Per prima cosa potresti dimostrare che \(C\) è in biiezione con l'insieme \(2^{\mathbb N}\), e che questa biiezione si può promuovere a un omeomorfismo (ma con quale topologia su \(2^{\mathbb N}\)?); fatto questo, la proprietà universale di C è la stessa dell'insieme degli stream numerabili di 0 ed 1. Questo secondo oggetto è più facile da rappresentare.

Ora, la proprietà universale si mostra proprio definendo \(\gamma,f\) per casi.