La proprietà di essere omeomorfi passa ai sottospazi
Sia $f:X->Y$ un omeomorfismo di spazi topologici e sia $AsubeX$ un sottoinsieme. Si provi che $g_{|_A}:A ->f(A)$ è un omeomorfismo, dove ovviamente su $A$ consideriamo la topologia di sottospazio di $X$ e su $f(A)$ consideriamo la topologia di sottospazio di $Y$.
Siccome $f$ è iniettiva allora $f_{|_A}:A ->Y$ è iniettiva per cui $g_{|_A}:A ->f(A)$, definita come $f_{|_A}$, è una biezione. Sia $VsubeY$ un aperto, allora $f^-1(V)$ è un aperto di $X$ e per la topologia indotta $f^-1(V)nnA$ è un aperto di $A$, ma $f^-1(V)nnA=f_{|_A}^-1(V)$ e questo prova la continuità di $f_{|_A}$. Ora sia $V$ un aperto di $f(A)$, per la topologia indotta esiste $U$ aperto di $Y$ tale che $V=Unnf(A)$, inoltre $f_{|_A}^-1(U)$ è aperto di $A$. Siccome $f(A)supef(A)$ vale che $f_{|_A}^-1(U)=f_{|_A}^-1(Unnf(A))=f_{|_A}^-1(V)=g_{|_A}^-1(V)$, quindi $g_{|_A}$ è continua. Infine sia $B$ un aperto di $A$, esiste $C$ aperto di $X$ tale che $B=CnnA$ e $f(C)$ è aperto di $Y$, per cui $g_{|_A}(B)=f(CnnA)=f(C)nnf(A)$, usando che $f$ è iniettiva per la seconda ugualianza. Per definizione di topologia indotta $f(C)nnf(A)$ è un aperto di $f(A)$ per cui $g_{|_A}$ è aperta, quindi concludiamo che è un omeomorfismo.
Siccome $f$ è iniettiva allora $f_{|_A}:A ->Y$ è iniettiva per cui $g_{|_A}:A ->f(A)$, definita come $f_{|_A}$, è una biezione. Sia $VsubeY$ un aperto, allora $f^-1(V)$ è un aperto di $X$ e per la topologia indotta $f^-1(V)nnA$ è un aperto di $A$, ma $f^-1(V)nnA=f_{|_A}^-1(V)$ e questo prova la continuità di $f_{|_A}$. Ora sia $V$ un aperto di $f(A)$, per la topologia indotta esiste $U$ aperto di $Y$ tale che $V=Unnf(A)$, inoltre $f_{|_A}^-1(U)$ è aperto di $A$. Siccome $f(A)supef(A)$ vale che $f_{|_A}^-1(U)=f_{|_A}^-1(Unnf(A))=f_{|_A}^-1(V)=g_{|_A}^-1(V)$, quindi $g_{|_A}$ è continua. Infine sia $B$ un aperto di $A$, esiste $C$ aperto di $X$ tale che $B=CnnA$ e $f(C)$ è aperto di $Y$, per cui $g_{|_A}(B)=f(CnnA)=f(C)nnf(A)$, usando che $f$ è iniettiva per la seconda ugualianza. Per definizione di topologia indotta $f(C)nnf(A)$ è un aperto di $f(A)$ per cui $g_{|_A}$ è aperta, quindi concludiamo che è un omeomorfismo.
Risposte
"andreadel1988":Eh?
[...] Siccome $f(A)supef(A)$ [...]
"j18eos":Eh?
[quote="andreadel1988"][...] Siccome $f(A)supef(A)$ [...]
[/quote]Era per far notare che se al posto di $f(A)$ mettevo $Bsupef(A)$ valeva comunque il ragionamento sulla continuità restringendo sul codominio hahhhaah, in questo caso sono uguali ma volevo sottolineare questo fatto
Vabbè; a parte quell'ovvietà, non leggo errori!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo