La proiezione è una mappa aperta
stavo leggendo una dimostrazione quando sono incappato nella affermazione che le proiezioni sono mappe aperte, ovvero mandano aperti in aperti, in quel caso si parlava di proiezioni da R^n a R^m. Ho provato a guardare online ma non trovo quello che cerco, praticamente il fatto che le proiezioni sono mappe aperte vuol dire che un aperto di R^n dev'essere per forza il prodotto cartesiano di aperti, ma non mi sono cimentato a dimostrare questo fatto tramite le bolle perchè penso sia un po' lungo e io non sono pratico. Ho pensato in termini topologici pensando fosse più semplice dato che li a quanto ne so gli aperti sono la base di tutto. Così sono andato a vedere che un aperto di R^n con la topologia prodotto se non ho capito male è per forza dato dall'unione di prodotti cartesiani di aperti, però ciò non conclude la dimostrazione e non saprei come andare avanti. Dato che non ho mai studiato topologia perchè sono a fisica qualcuno saprebbe e vorrebbe darmi una mano?
Risposte
Per semplicità prendi $pi:X xx Y to X$ definita da $pi(x,y)=x$. Bisogna mostrare che $pi$ manda aperti in aperti. Sia $U$ un aperto di $X xx Y$ e sia $x in pi(U)$. Bisogna trovare un aperto $V$ di $X$ contenente $x$ e contenuto in $pi(U)$. Siccome $x in pi(U)$ esiste $y in Y$ con $(x,y) in U$ e quindi esistono aperti $A$ di $X$ e $B$ di $Y$ tali che $(x,y) in A xx B subseteq U$. Basta quindi scegliere $V=A$.
Ho usato il fatto che gli aperti di $X xx Y$ sono unioni (arbitrarie) di aperti del tipo $A xx B$ dove $A$ è un aperto di $X$ e $B$ è un aperto di $Y$.
Ho usato il fatto che gli aperti di $X xx Y$ sono unioni (arbitrarie) di aperti del tipo $A xx B$ dove $A$ è un aperto di $X$ e $B$ è un aperto di $Y$.
Grazie per la risposta, ma non ho capito. Chi l'ha detto che esistono aperti A e B tali che AxB è contenuto in U?
È perché gli aperti di $X xx Y$ sono unioni (arbitrarie) di aperti del tipo $A xx B$ dove $A$ è un aperto di $X$ e $B$ è un aperto di $Y$.
Non capisco ancora la tua dimostrazione, perchè bisogna trovare un aperto di $X$ contenente x e che sia contenuto in $ pi(U) $, sarà una cosa banale ma non mi è chiarissima. Io non so niente di topologia, quindi ti chiedo: come si fa a dimostrare che un insieme è aperto?
Per la dimostrazione io ho pensato che preso un $x$ appartenente ad un insieme $U$ aperto di $X xx Y$ bisogna dimostrare che $x$ appartiene anche a un aperto di $X$ ma ciò è già verificato perchè $U$ è dato dall'unione arbitraria di insiemi $A xx B$ dove $A$ e $B$ sono aperti. Quindi $x$ deve stare per forza in un aperto di $X$.
Se questa va bene come dimostrazione, ti devo ringraziare perchè mi hai chiarito le idee e mi hai dato tu l'idea.
Per la dimostrazione io ho pensato che preso un $x$ appartenente ad un insieme $U$ aperto di $X xx Y$ bisogna dimostrare che $x$ appartiene anche a un aperto di $X$ ma ciò è già verificato perchè $U$ è dato dall'unione arbitraria di insiemi $A xx B$ dove $A$ e $B$ sono aperti. Quindi $x$ deve stare per forza in un aperto di $X$.
Se questa va bene come dimostrazione, ti devo ringraziare perchè mi hai chiarito le idee e mi hai dato tu l'idea.
"Cannone Speciale":
preso un $x$ appartenente ad un insieme $U$ aperto di $X xx Y$ bisogna dimostrare che $x$ appartiene anche a un aperto di $X$
No, questo non ha senso: gli elementi di $X xx Y$ sono coppie ordinate $(x,y)$ con $x in X$ e $y in Y$ (come nel caso di $RR^n$, dove hai $n$-uple ordinate $(x_1,...,x_n)$ di numeri reali). Quindi non ha senso prendere $x$ in $X xx Y$ e cercare di mostrare che $x in X$.
Quello che ho detto è di prendere $x in pi(U)$ (dove $pi:X xx Y to X$ è la proiezione su $X$, cioè $pi(a,b)=a$) e cercare un aperto $V$ di $X$ contenuto in $pi(U)$ e contenente $x$ (se riesci a fare questo, ottieni immediatamente che $pi(U)$ è aperto, essendo l'unione di tali aperti $V$ al variare di $x$). Per trovare tale $V$, possiamo osservare che dire $x in pi(U)$ ("$x$ appartiene all'immagine di $U$ tramite $pi$") è equivalente a dire che esiste $(a,b) in U$ tale che $pi(a,b)=x$. Ma dire $pi(a,b)=x$ equivale a dire $a=x$, perché $pi(a,b)=a$ per definizione. Ora siccome $U$ è un aperto di $X xx Y$ abbiamo che $U$ è unione di aperti del tipo $A xx B$ con $A$ aperto di $X$ e $B$ aperto di $Y$ (questo segue dalla definizione di topologia prodotto, per esempio vedi qui). Quindi, siccome $(a,b) in U$, esistono $A$ aperto di $X$ e $B$ aperto di $Y$ tali che $(a,b) in A xx B$, cioè $a in A$ e $b in B$, e inoltre $A xx B subseteq U$. Ma siccome $a=x$, abbiamo $x in A$ e quindi possiamo scegliere $V=A$. Infatti in questo modo $x in A = V$, $V$ è aperto di $X$ (essendo uguale ad $A$) ed è contenuto in $pi(U)$ perché $A xx B$ è contenuto in $U$: in formule, siccome $A xx B subseteq U$, abbiamo $V = A = pi(A xx B) subseteq pi(U)$.
Dimenticavo: dopo aver trovato, per ogni $x in pi(U)$, un aperto $V=V(x)$ di $X$ contenente $x$ e contenuto in $pi(U)$, puoi osservare che $pi(U)$ è proprio uguale all'unione di tutti questi $V(x)$, al variare di $x$ in $pi(U)$. Infatti, siccome tutti i $V(x)$ sono contenuti in $pi(U)$, la loro unione è ovviamente contenuta in $pi(U)$, e viceversa, se prendi un qualsiasi $x in pi(U)$, esso sarà contenuto in $V(x)$.
Ne segue che $pi(U)$ è aperto di $X$, essendo unione di aperti.
Ne segue che $pi(U)$ è aperto di $X$, essendo unione di aperti.
Grazie mille finalmente ho capito, scusami che hai dovuto ripeterti.
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