L(A) il più picolo sottospazio di E
Credo di non aver capito delle formalità matematiche presentate nel mio libro ovvero:
Cito testualmente:
Siano $A$ e $A'$ sottoinsiemi non vuoti dello spazio vettoriale $E$. Verificare le validità delle seguenti proposizioni.
1. $A$ contenuto propriamente in $L(A)$
2. $L(A)$ è l'intersezione di tutti i sottospazi di $E$ contenuti in $A$
3. [$A = L(A)$] <=> [$A$ sottospazio di $E$]
4. [$A$ contenuto propriamente in $A'$] <=> [$L(A)$ contenuto propriamente in $L(A')$]
PRIMA proprio di dimostrarle, queste proprietà hanno dei 'nomi'?
perchè a lezione non ne ha proprio parlato, ma li devo fare e sono la base per le 3 proprietà della base [che poco fa cercando per il forum so che si chiamano lemmi di steinitz]
vorrei cercare anche di fare qualche esempio pratico per capire, ma non vorrei scostarmi contemporaneamente da quel che ho fatto perchè da quanto ho appreso il web è pieno di piccoli errorini fuorvianti.
spero in un vostro aiuto!
Cito testualmente:
Siano $A$ e $A'$ sottoinsiemi non vuoti dello spazio vettoriale $E$. Verificare le validità delle seguenti proposizioni.
1. $A$ contenuto propriamente in $L(A)$
2. $L(A)$ è l'intersezione di tutti i sottospazi di $E$ contenuti in $A$
3. [$A = L(A)$] <=> [$A$ sottospazio di $E$]
4. [$A$ contenuto propriamente in $A'$] <=> [$L(A)$ contenuto propriamente in $L(A')$]
PRIMA proprio di dimostrarle, queste proprietà hanno dei 'nomi'?
perchè a lezione non ne ha proprio parlato, ma li devo fare e sono la base per le 3 proprietà della base [che poco fa cercando per il forum so che si chiamano lemmi di steinitz]
vorrei cercare anche di fare qualche esempio pratico per capire, ma non vorrei scostarmi contemporaneamente da quel che ho fatto perchè da quanto ho appreso il web è pieno di piccoli errorini fuorvianti.
spero in un vostro aiuto!
Risposte
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Non credo che queste proprietà abbiano dei nomi specifici. Dovresti comunque indicare in dettaglio come il tuo testo definisce lo spazio $L(A)$, perché possono essere date diverse definizioni equivalenti.
In sostanza, tu sai che uno spazio vettoriale contiene sempre lo $0$. Dunque se ad esempio $A$ è formato da un solo punto, diverso da $0$, allora il sottospazio $L(A)$ sarà la retta per $0$ e per quel punto. Se $A$ è formato da due punti, entrambi diversi da $0$ e che non sono sulla stessa retta per $0$, allora $L(A)$ è il piano che passa per $0$ e per i due punti di $A$. E così via... In pratica devi prendere tutti i vettori di $A$ e fargli generare uno spazio vettoriale. Se ti fai qualche esempio con insiemi $A$ relativamente piccoli, la cosa dovrebbe essere chiara. Poi puoi osservare che se prendi un vettore $v$ che sia dipendente con i vettori di $A$ allora $L(A) = L(A \cup \{ v \} )$, che di fatto rende chiaro cosa significa essere linearmente dipendenti.
In sostanza, tu sai che uno spazio vettoriale contiene sempre lo $0$. Dunque se ad esempio $A$ è formato da un solo punto, diverso da $0$, allora il sottospazio $L(A)$ sarà la retta per $0$ e per quel punto. Se $A$ è formato da due punti, entrambi diversi da $0$ e che non sono sulla stessa retta per $0$, allora $L(A)$ è il piano che passa per $0$ e per i due punti di $A$. E così via... In pratica devi prendere tutti i vettori di $A$ e fargli generare uno spazio vettoriale. Se ti fai qualche esempio con insiemi $A$ relativamente piccoli, la cosa dovrebbe essere chiara. Poi puoi osservare che se prendi un vettore $v$ che sia dipendente con i vettori di $A$ allora $L(A) = L(A \cup \{ v \} )$, che di fatto rende chiaro cosa significa essere linearmente dipendenti.
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