La compattezza dipende dalla topologia?
Ciao,
ho una domanda di carattere generale: il fatto che uno spazio topologico sia compatto o meno, dipende dalla topologia che si sta considerando?
Dalla definizione di compattezza direi di sì, in quanto si parla di "ricoprimenti aperti" (cioè fatti con aperti dello spazio topologico in questione).
Però mi disturba pensare che uno spazio topologico sia compatto con una topologia e non-compatto con un'altra.
Non solo, studiando la geometria differenziale delle superfici, si dice che non è possibile parametrizzare una sfera in $R^3$ con una sola parametrizzazione in quanto la sfera è compatta, ma $R^2$ non lo è (dalla proprietà per cui una funzione da un insieme and un compatto "trasporta" la compatteza anche nell'insieme), da qui il dubbio che esprimerei così "perchè si dice che $R^2$ non è compatto senza specificare la topologia? Magari la compattezza non dipende dalla topologia che si considera"
Grazie in anticipo per il supporto!
Ciao,
J.
ho una domanda di carattere generale: il fatto che uno spazio topologico sia compatto o meno, dipende dalla topologia che si sta considerando?
Dalla definizione di compattezza direi di sì, in quanto si parla di "ricoprimenti aperti" (cioè fatti con aperti dello spazio topologico in questione).
Però mi disturba pensare che uno spazio topologico sia compatto con una topologia e non-compatto con un'altra.
Non solo, studiando la geometria differenziale delle superfici, si dice che non è possibile parametrizzare una sfera in $R^3$ con una sola parametrizzazione in quanto la sfera è compatta, ma $R^2$ non lo è (dalla proprietà per cui una funzione da un insieme and un compatto "trasporta" la compatteza anche nell'insieme), da qui il dubbio che esprimerei così "perchè si dice che $R^2$ non è compatto senza specificare la topologia? Magari la compattezza non dipende dalla topologia che si considera"
Grazie in anticipo per il supporto!
Ciao,
J.
Risposte
Naturalmente la compattezza dipende dalla topologia che consideri, come hai ben osservato. Se consideri $RR^n$ senza specificare la topologia, solitamente è sottointeso che ti stai riferendo alla topologia standard (quella euclidea).
Prendi $RR$ con la topologia euclidea (quella dedotta dalla metrica euclidea): chiaramente non è uno spazio topologico compatto.
Ora prendi $RR$ con la topologia del complemento finito, che probabilmente tu non hai mai incontrato, ma che è definita così: [ $A$ aperto $\iff$ il suo complementare è un insieme finito ]. Prova a ragionare sui ricoprimenti aperti, dove gli aperti non sono quelli "usuali", ma sono questi che ti ho appena definito. Cosa puoi concludere sulla compattezza?
"Jerico":
Però mi disturba pensare che uno spazio topologico sia compatto con una topologia e non-compatto con un'altra.
Prendi $RR$ con la topologia euclidea (quella dedotta dalla metrica euclidea): chiaramente non è uno spazio topologico compatto.
Ora prendi $RR$ con la topologia del complemento finito, che probabilmente tu non hai mai incontrato, ma che è definita così: [ $A$ aperto $\iff$ il suo complementare è un insieme finito ]. Prova a ragionare sui ricoprimenti aperti, dove gli aperti non sono quelli "usuali", ma sono questi che ti ho appena definito. Cosa puoi concludere sulla compattezza?
Aggiungo una cosa: una funzione qualsiasi non "trasporta" in generale la topologia da uno spazio all'altro. Perché una cosa di questo tipo avvenga, una siffatta funzione deve comportarsi bene sugli aperti. Ti è nuovo il termine omeomorfismo?
Un esempio facile per vederlo è prendere il folium di Cartesio e considerare gli intorni di 0.
"Jerico":
Però mi disturba pensare che uno spazio topologico sia compatto con una topologia e non-compatto con un'altra.
Questa frase infatti non ha molto senso, quando parli di "spazio topologico" stai già sottointendendo (ma manco troppo sotto-
) l'esistenza di una precisa topologia! Infatti uno spazio topologico non è solo un insieme, ma una coppia formata da un insieme e una topologia su di esso. Poi per abuso di notazione spesso si continua a indicare lo spazio topologico con il nome dell'insieme, sottointendendone (questa volta sul serio!) la topologia.Tolta la topologia, resta soltanto un insieme, e senza strutture aggiuntive un insieme è caratterizzato sostanzialmente dalla propria cardinalità! Dunque, ad esempio, siccome $RR$ e $[0,1]$ hanno la stessa cardinalità, puoi mettere sul primo la topologia tipica del secondo e viceversa. In tal modo $RR$ risulta compatto, mentre $[0,1]$ no. Questo però è un modo molto innaturale di fare le cose, per cui quando si parla di sottoinsiemi di $RR^n$ senza specificarne la topologia, si intende sempre quella classica che deriva dalla metrica euclidea.
"Jerico":
Però mi disturba pensare che uno spazio topologico sia compatto con una topologia e non-compatto con un'altra.
Ti disturberà pure... Ma invece è proprio così e questa è una cosa di estrema importanza in Analisi (ad esempio).
In linea generale, detto in modo molto rozzo, la faccenda va così: meno aperti ci sono nello spazio, più aumentano i compatti (e più aumenta la possibilità che addirittura l'intero spazio sia compatto).
Pertanto, una delle cose a cui si ricorre sistematicamente in Analisi è "indebolire" (i.e., rendere più povera di aperti) la topologia già definita su uno spazio che interessa per far aumentare il numero di insiemi compatti presenti nello spazio; ciò serve a ottenere più insiemi nei quali è possibile trovare gli estremi di funzioni continue (per Weierstrass, una funzione numerica continua in un compatto è sempre dotata di massimo e minimo assoluti), che è uno degli obiettivi primari di un analista.
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