$L sube End(RR^3)$ dimensione.
Salve ragazzi , ho questo esercizio :
Sia $L = { f \in End(RR^3) | f(e_1)=f(e_2)=f(e_3)} sube End(RR^3)$ dove ${e_1,e_2,e_3}$ è la base canonica di $RR^3$. Determinare la dimensione di $L$.
Confido che mi ha dato da riflettere tale esercizio, tuttavia penso di averlo risolto.
osservazione :
Allora , parto dal presupposto che ogni endomorfismo di $RR^3$ possa essere definito come segue :
$f(e_i)=w_i \in RR^3 , AA i \in {1,2,3}$ (1). Cioè come base di riferimento possiamo prendere quella canonica, infatti se $f$ fosse definito tramite un'altra base $B$ ci possiamo sempre ricondurre ad un'espressione di $f$ di tipo (1) e viceversa.
Proseguo con la risoluzione dell'esercizio..
Innanzi tutto noto che $End(RR^3)-=M_3(RR)$ , ciò ci assicura che $EE U sube M_3(RR)$ isomorfo ad $L$, dove $L$ è l'insieme delle matrici associate ad $f \in L$ rispetto a $B_c$.
Cioè
$U={ A \in M_3(RR) | T^(B_c)(f)=A} = { ((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i)) | $ 1°,2°,3° colonna uguali$}={A=((x,x,x),(y,y,y),(z,z,z)) |x,y,z \in RR}$ (3)
Da (3) si evince facilmente che $dimU=3$ e dato l'isomorfismo se ne deduce che $dimL=3$.
Come vi sembra? Ho sclerato troppo? grazie mille.
Sia $L = { f \in End(RR^3) | f(e_1)=f(e_2)=f(e_3)} sube End(RR^3)$ dove ${e_1,e_2,e_3}$ è la base canonica di $RR^3$. Determinare la dimensione di $L$.
Confido che mi ha dato da riflettere tale esercizio, tuttavia penso di averlo risolto.
osservazione :
Allora , parto dal presupposto che ogni endomorfismo di $RR^3$ possa essere definito come segue :
$f(e_i)=w_i \in RR^3 , AA i \in {1,2,3}$ (1). Cioè come base di riferimento possiamo prendere quella canonica, infatti se $f$ fosse definito tramite un'altra base $B$ ci possiamo sempre ricondurre ad un'espressione di $f$ di tipo (1) e viceversa.
Proseguo con la risoluzione dell'esercizio..
Innanzi tutto noto che $End(RR^3)-=M_3(RR)$ , ciò ci assicura che $EE U sube M_3(RR)$ isomorfo ad $L$, dove $L$ è l'insieme delle matrici associate ad $f \in L$ rispetto a $B_c$.
Cioè
$U={ A \in M_3(RR) | T^(B_c)(f)=A} = { ((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i)) | $ 1°,2°,3° colonna uguali$}={A=((x,x,x),(y,y,y),(z,z,z)) |x,y,z \in RR}$ (3)
Da (3) si evince facilmente che $dimU=3$ e dato l'isomorfismo se ne deduce che $dimL=3$.
Come vi sembra? Ho sclerato troppo? grazie mille.
Risposte
Puoi anche pensarlo così, l'endomorfismo mi manda i vettori della base in un vettore di $RR^3$, quante coordinate posso scegliere prendendo un vettore qualsiasi di $RR^3$? Evidentemente sono 3 
Giusto ,grazie mille 
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