$k\mathbf{v}=\mathbf{v}k$?
Ciao, amici! Mi chiedevo se, quando si moltiplica un vettore $\mathbf{v}$ per uno scalare appartenente ad un campo $k\in K$, scrivere $\mathbf{v} k$, seppure inusuale, sarebbe scorretto o no...
Grazie a tutti!
Grazie a tutti!
Risposte
Beh formalmente tu consideri un applicazione $* : K \times V \to V$ quindi per far sì che questa mantenga senso bisogna scrivere $k*v$.
Sempre se ho capito la domanda
Sempre se ho capito la domanda
Ho capito: quindi $\mathbf{v}k$ non si scrive. In effetti non ho mai visto cose del tipo *\(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} 3= \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}\) invece di \(3 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}\).
Grazie!!!! Rapidissimo!
Grazie!!!! Rapidissimo!
Generalmente (nell'ambito commutativo) penso che non sia certamente un problema scrivere lo scalare a destra o a sinistra, a parte la giusta correttezza formale di cui parlava mistake89, ma nell'ambito non commutativo, parlando di bimoduli per esempio, la moltiplicazione a destra, in generale, è un'operazione diversa da quella a sinistra.
Grazie anche a te, Dr. ( 
) Leonardo!!!
Quindi eviterò di scrivere scalari a destra del vettore. Sul libro di analisi ho però trovato espressioni del tipo
\[\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(At)^k}{k!}=e^{At}\]
con $At$ invece di $tA$ (che mi sembrerebbe analogo a scrivere \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}3\) con $1,2,3 \in K$ con $K$ campo) e questo mi verrebbe da pensare che sia dovuto proprio al fatto che si intende $t\in RR$ e $A\in M_n (RR)$ e per coefficienti della matrice e scalari in $RR$ vale la proprietà commutativa della moltiplicazione.
Grazie ancora a tutti!!!
) Leonardo!!!Quindi eviterò di scrivere scalari a destra del vettore. Sul libro di analisi ho però trovato espressioni del tipo
\[\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(At)^k}{k!}=e^{At}\]
con $At$ invece di $tA$ (che mi sembrerebbe analogo a scrivere \(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}3\) con $1,2,3 \in K$ con $K$ campo) e questo mi verrebbe da pensare che sia dovuto proprio al fatto che si intende $t\in RR$ e $A\in M_n (RR)$ e per coefficienti della matrice e scalari in $RR$ vale la proprietà commutativa della moltiplicazione.
Grazie ancora a tutti!!!
Ecco perchè i matematici ed i fisici non si comprendono...
Non lo dico in tono polemico, è solo un'osservazione.
Non lo dico in tono polemico, è solo un'osservazione.
[xdom="Seneca"]Sposto la discussione in Geometria.[/xdom]
Ops... 
In effetti non è il solito tipo di post sul significato e le varie possibilità d'uso dei simboli matematici che ultimamente posto in Generale: scusate...
In effetti non è il solito tipo di post sul significato e le varie possibilità d'uso dei simboli matematici che ultimamente posto in Generale: scusate...
Mi stupisce che nessuno abbia citato la grande importanza (pur se un po' ostica) che ha l'algebra lineare non commutativa, ovvero l'algebra lineare su corpi (o se siete anglofoni, su anelli con divisione)... Uno degli obiettivi che si prefigge tale teoria e' generalizzare le costruzioni classiche (di cui certamente siete tutti esperti) al caso di un modulo su un anello non commutativo $k$, in cui ogni elemento non nullo sia invertibile.
E" facile vedere che la piu' parte dei concetti classici (la definizione stessa, la definizione di omomorfismo di $k$_moduli, il concetto di insieme di generatori e di base, la nozione di indipendenza lineare e di dimensione, la rappresentazione matriciale di un omomorfismo, la composizione di due dei quali corrisponde al prodotto di matrici...) si generalizzano senza nessuna difficolta'.
I problemi vengono al pettine quando si deve introdurre la nozione di determinante di un endomorfismo (che e' essenziale a tutta l'algebra lineare). Ma cominciamo dall'inizio.
Data la definizione nel modo piu' ovvio di un $k$_modulo destro $V_k$, disponiamo della nozione di combinazione lineare (ovvero una espressione della forma $\sum v_i\lambda_i$). Ogni base di $V_k$ ha lo stesso numero di elementi, e dunque e' ben posta la definizione di $\dim V_k$. Se disponiamo di una trasformazione lineare tra due $k$-spazi vettoriali destri di dimensione finita, $f : V_k\to W_k$, e scegliamo basi $\{v_i\}$, $\{w_j\}$ per i due spazi, possiamo rappresentare $f$ come una matrice di componente $(i,j)$ data dallo scalare $(\lambda_{ij})$, ottenuto a partire dal fatto che $f(v_i)=\sum w_j\lambda_{ij}$. Allo stesso modo si dimostra che se $V$ ha dimensione $n$, scelta una base di $V$ c'e' un isomorfismo $V\cong k^n$.
La nozione di determinante e' l'unica a non salvarsi, dato che essa presuppone di fare la somma un sacco di prodotti sulle permutazioni, e nulla vieta che anche avendo una matrice le cui colonne non sono una base, il determinante non sia zero... Una definizione e' stata data da Dieudonne', ma al momento non trovo ne' ricordo dove. E non e' esattamente una definizione gestibile (a quel che ricordo, c'e' un "determinante per righe" e un "determinante per colonne", in generale ovviamente non coincidenti).
E" facile vedere che la piu' parte dei concetti classici (la definizione stessa, la definizione di omomorfismo di $k$_moduli, il concetto di insieme di generatori e di base, la nozione di indipendenza lineare e di dimensione, la rappresentazione matriciale di un omomorfismo, la composizione di due dei quali corrisponde al prodotto di matrici...) si generalizzano senza nessuna difficolta'.
I problemi vengono al pettine quando si deve introdurre la nozione di determinante di un endomorfismo (che e' essenziale a tutta l'algebra lineare). Ma cominciamo dall'inizio.
Data la definizione nel modo piu' ovvio di un $k$_modulo destro $V_k$, disponiamo della nozione di combinazione lineare (ovvero una espressione della forma $\sum v_i\lambda_i$). Ogni base di $V_k$ ha lo stesso numero di elementi, e dunque e' ben posta la definizione di $\dim V_k$. Se disponiamo di una trasformazione lineare tra due $k$-spazi vettoriali destri di dimensione finita, $f : V_k\to W_k$, e scegliamo basi $\{v_i\}$, $\{w_j\}$ per i due spazi, possiamo rappresentare $f$ come una matrice di componente $(i,j)$ data dallo scalare $(\lambda_{ij})$, ottenuto a partire dal fatto che $f(v_i)=\sum w_j\lambda_{ij}$. Allo stesso modo si dimostra che se $V$ ha dimensione $n$, scelta una base di $V$ c'e' un isomorfismo $V\cong k^n$.
La nozione di determinante e' l'unica a non salvarsi, dato che essa presuppone di fare la somma un sacco di prodotti sulle permutazioni, e nulla vieta che anche avendo una matrice le cui colonne non sono una base, il determinante non sia zero... Una definizione e' stata data da Dieudonne', ma al momento non trovo ne' ricordo dove. E non e' esattamente una definizione gestibile (a quel che ricordo, c'e' un "determinante per righe" e un "determinante per colonne", in generale ovviamente non coincidenti).
@killing_buddha
Interessante questa storia del determinante di matrici su corpi! Se ritrovi qualche link mi fa piacere.
Interessante questa storia del determinante di matrici su corpi! Se ritrovi qualche link mi fa piacere.
Grazie ancora a tutti!!! Purtroppo finora sono ai primi passi nel meraviglioso mondo della matematica e, per quanto riguarda i determinanti, ho solo affrontato lo studio di determinanti di matrici a coefficienti in un campo \(K\). Senonché, dopo aver enunciato vari teoremi e proprietà dei determinanti di matrici in \(M_{n}(K)\) con \(K\) campo, il mio testo di geometria (il Sernesi) dice che il determinante è definito anche per matrici in \(M_{n}(D)\) con \(D\) dominio d'integrità... A proposito di questo volevo scrivere qui, ma penso sia meglio aprire un nuovo topic.
\(+\infty\) grazie ancora!!!
\(+\infty\) grazie ancora!!!
Trovo oggi sullo Strang, Algebra lineare, l'espressione della proiezione del vettore $b$ sulla retta di direzione $a$ come \(p=a(a^\text{T}b/a^\text{T}a)\) dove \(a^\text{T}b/a^\text{T}a\) è uno scalare e $a$ un vettore...
EDIT: Si tratta probabilmente di un abuso di notazione giustificato dal fatto che si vuole mettere in rilievo che, dati $a,b\inRR^n$ la proiezione di $b$ sulla retta di direzione $a$ è rappresentabile come prodotto matriciale $Pb$ dove $P=(aa^\text{T})/(a^\text{T}a)\inM_n(RR)$.
EDIT: Si tratta probabilmente di un abuso di notazione giustificato dal fatto che si vuole mettere in rilievo che, dati $a,b\inRR^n$ la proiezione di $b$ sulla retta di direzione $a$ è rappresentabile come prodotto matriciale $Pb$ dove $P=(aa^\text{T})/(a^\text{T}a)\inM_n(RR)$.
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