Kernel e immagine di una funzione con parametro k
ciao, ho questa funzione, la scrivo direttamente come sistema:
$f(x,y,z)=\{(2x-3y),(2kx-3ky),(x+2y+(2k-1)z):}$
dovrei calcolarne il kernel, l'immagine e le loro dimensioni , nonchè una loro base.
dal sistema ponendo ogni equazione uguale a 0
$\{(2x-3y=0),(2kx-3ky =0),(x+2y+(2k-1)z=0):}$
ottengo Ker f = { $ 3 / 2 $y ,y,-$(7y) / ( 4k-2)$}
per l'immagine invece il sistema ha questa soluzione finale
$\{(x=3y),(y(3k-1)=0),(z=-(5y)/(2k-2)):}$
quindi sia il kernel che l'immagine hanno dimensione 1 , indipendentemente dal k. Ma il teorema afferma che la dimensione dello spazio, in questo caso 3 , è uguale alla somma della dimensione del kernel e quella dell'immagine, che invece risulta essere 2. Sbaglio qualcosa? ho sbagliato ragionamento ?ho sbagliato i calcoli? la soluzione che ho trovato dovrebbe essere errata.
$f(x,y,z)=\{(2x-3y),(2kx-3ky),(x+2y+(2k-1)z):}$
dovrei calcolarne il kernel, l'immagine e le loro dimensioni , nonchè una loro base.
dal sistema ponendo ogni equazione uguale a 0
$\{(2x-3y=0),(2kx-3ky =0),(x+2y+(2k-1)z=0):}$
ottengo Ker f = { $ 3 / 2 $y ,y,-$(7y) / ( 4k-2)$}
per l'immagine invece il sistema ha questa soluzione finale
$\{(x=3y),(y(3k-1)=0),(z=-(5y)/(2k-2)):}$
quindi sia il kernel che l'immagine hanno dimensione 1 , indipendentemente dal k. Ma il teorema afferma che la dimensione dello spazio, in questo caso 3 , è uguale alla somma della dimensione del kernel e quella dell'immagine, che invece risulta essere 2. Sbaglio qualcosa? ho sbagliato ragionamento ?ho sbagliato i calcoli? la soluzione che ho trovato dovrebbe essere errata.
Risposte
Inizio col chiederti se per ogni [tex]$k$[/tex] risultasse [tex]$f$[/tex] un endomorfismo lineare di [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex]?
scusa non ho capito 
, in che senso ? intendi se sono verificate le due formule della definizione di applicazione lineare?
f(v)+f(w) = f(v+w)
a * f(v) = f(a *v)
se è così ho fatto le prove con i vettori (1,0,1) e (1,2,1) e il fattore moltiplicativo 2 e i conti tornano, ma non capisco in che senso influisca il k . Penso che intendessi qualcos' altro .
, in che senso ? intendi se sono verificate le due formule della definizione di applicazione lineare? f(v)+f(w) = f(v+w)
a * f(v) = f(a *v)
se è così ho fatto le prove con i vettori (1,0,1) e (1,2,1) e il fattore moltiplicativo 2 e i conti tornano, ma non capisco in che senso influisca il k . Penso che intendessi qualcos' altro .
Devi verificare tali proprietà per tutti i vettori di [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex] e per tutti i [tex]$k$[/tex]; non a caso te l'ho chiesto!
mi scuso per l'enorme ritardo nel rispondere ma tra una cosa e l'altra ho ripreso in mano l'esercizio solo ieri, comunque assegnando a k il valore 0 la seconda equazione si "annulla", ma non so bene come risolverla, nel senso che
Invece per k = 1/2 il kernel diventa
Ker f {$3/2$y,y,-$(7y)/0$}, ma un numero diviso per 0 è uguale a infinito , giusto ? quindi come diventerebbe il kernel ?
ma tra una cosa e l'altra ho ripreso in mano l'esercizio solo ieri, comunque assegnando a k il valore 0 la seconda equazione si "annulla", ma non so bene come risolverla, nel senso che 2kx-3ky = 0per k = 0 diventa
0x-0y = 0, che soluzione ha ? ad esempio volendo calcolare la soluzione in y, questa sarebbe presa qualunque y € R?
Invece per k = 1/2 il kernel diventa
Ker f {$3/2$y,y,-$(7y)/0$}, ma un numero diviso per 0 è uguale a infinito , giusto ? quindi come diventerebbe il kernel ?
I- non hai seguito il mio suggerimento! E si può sorvolare.
II- che significa questo obrobbio [tex]$\frac{7}{0}$[/tex]?
Al di là di ciò; per determinare il kernel di [tex]$f$[/tex] dovresti sì risolvere il sistema che hai scritto; notare che la II equazione è "linearmente dipendente" dalla I equazione, e discutere per bene la III equazione! Così ti trovi una rappresentazione cartesiana del suo nucleo; calcolandoti il rango [tex]$r$[/tex] della matrice associata a tale sistema ti calcoli la dimensione dello spazio immagine sicché [tex]$n-r$[/tex] è la dimensione del nucleo. (Perché?) Comunque tutto ciò dipende dalla discussione di cui ti ho detto di sopra. Il resto alla prossima!
II- che significa questo obrobbio [tex]$\frac{7}{0}$[/tex]?
Al di là di ciò; per determinare il kernel di [tex]$f$[/tex] dovresti sì risolvere il sistema che hai scritto; notare che la II equazione è "linearmente dipendente" dalla I equazione, e discutere per bene la III equazione! Così ti trovi una rappresentazione cartesiana del suo nucleo; calcolandoti il rango [tex]$r$[/tex] della matrice associata a tale sistema ti calcoli la dimensione dello spazio immagine sicché [tex]$n-r$[/tex] è la dimensione del nucleo. (Perché?) Comunque tutto ciò dipende dalla discussione di cui ti ho detto di sopra. Il resto alla prossima!
non è che l'ho ignorato volontariamente, è che non ho capito bene cosa intendevi e così ho cercato "interpretare", comunque ora provo a risolverlo con i consigli che mi hai dato, 
grazie
grazie
L'avevo capito: il verificare che una certa applicazione sia una funzione lineare è domanda d'esame orale, teoricamente mi hai risposto benissimo ma praticamente non l'hai applicata la definizione... ho fatto i conti per te (e chi mi conosce sà che li odio) ed ho verificato che [tex]$f$[/tex] è un'applicazione lineare per ogni [tex]$k$[/tex]; tanto per stare tranquilli.
ho fatto i conti per te (e chi mi conosce sà che li odio)
mi dispiace,
, ma ha fatto penitenza e mi sono andato a rileggere meglio la definizione teorica e la dimostrazione di applicazione lineare , quello che chiedevi tu era questo ?la funzione è :
f(x,y,z) = (2x-3y,2kx-3ky, x+2y+(2k-1)z)
per verificare devo risolvere questa equazione
a* f(2x-3y,2kx-3ky, x+2y+(2k-1)z)) + b * f(2$x^{1}$-3$y^{1}$,2k$x^{1}$-3k$y^{1} $+2$y^{1}$+(2k-1)$z^{1}$) = f(a*(2x-3y,2kx-3ky, x+2y+(2k-1)z) + b*(2$x^{1}$-3$y^{1}$,2k$x^{1}$-3k$y^{1} $+2$y^{1}$+(2k-1)$z^{1}$))
gli uno non sono elevamenti a potenza ma solo apici per distinguere la variabili, ad esempio x da x-primo .
Sì ok!
P.S.: i pedici si scrivono così \$x_1\$=$x_1$. Altri dubbi?
P.S.: i pedici si scrivono così \$x_1\$=$x_1$.
Altri dubbi?
anche stavolta ci ho messo un secolo a rispondere !
ok !
ho fatto, come suggerito , il calcolo del rango della matrice associata all' applicazione secondo la base canonica , e viene 2 per ogni $ k in R $ , quindi il kernel sarà sempre uguale o maggiore di 1,mai uguale a 0 . Nel risolvere il sistema
$\{(2x-3y=0),(2kx-3ky=0),(x+2y+(2k-1)z=0):}$
per k = $1/2$ ,il coefficiente della z si "annulla", diventanto alla fine
(2k-1) z ==> (2*$1/2$ -1) z ==> (0)z
il dubbio è:
credo che la z debba essere "portata" fino alla fine del sistema, quindi se provassi a svolgere fin dall'inizio (2*$1/2$ -1)z ==> 0z sarebbe sbagliato, credo . il metodo corretto dovrebbe essere "mantenere" la z fino alla fine del sistema ed arrivare a questo
$\{(x=3/2y),(y=y),(z=z-7/2y) :}$
che ha questa soluzione Ker f= {0,0,z}, quindi in linea con la dimensione del Ker f sempre maggiore o uguale a 1.
Spero sia giusto,so che mi sto arrovellando il cervello su cose semplici ma sono problemi che facendo gli altri esercizi non mi si erano presentati.
P.S.: i pedici si scrivono così $x_1$=x1. Wink Altri dubbi?
ok !
ho fatto, come suggerito , il calcolo del rango della matrice associata all' applicazione secondo la base canonica , e viene 2 per ogni $ k in R $ , quindi il kernel sarà sempre uguale o maggiore di 1,mai uguale a 0 . Nel risolvere il sistema
$\{(2x-3y=0),(2kx-3ky=0),(x+2y+(2k-1)z=0):}$
per k = $1/2$ ,il coefficiente della z si "annulla", diventanto alla fine
(2k-1) z ==> (2*$1/2$ -1) z ==> (0)z
il dubbio è:
credo che la z debba essere "portata" fino alla fine del sistema, quindi se provassi a svolgere fin dall'inizio (2*$1/2$ -1)z ==> 0z sarebbe sbagliato, credo . il metodo corretto dovrebbe essere "mantenere" la z fino alla fine del sistema ed arrivare a questo
$\{(x=3/2y),(y=y),(z=z-7/2y) :}$
che ha questa soluzione Ker f= {0,0,z}, quindi in linea con la dimensione del Ker f sempre maggiore o uguale a 1.
Spero sia giusto,so che mi sto arrovellando il cervello su cose semplici ma sono problemi che facendo gli altri esercizi non mi si erano presentati.
Ponendo [tex]$k=\frac{1}{2}$[/tex] la [tex]$z$[/tex] scompare dalla terza equazione e ti trovi la rappresentazione cartesiana del kernel.
grazie tante mi sei stato di grande aiuto !
Prego, di nulla! 
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