KerL e ImL di applicazione lineare

[MakaSum]

Salve a tutti ragazzi, mi ritrovo questo esercizio:

$L(x,y,z)=(hx+z,x+y+z,hy+z)$

mi calcolo il valore o i valori di h:
$((h,0,1),(1,1,1),(0,h,1)) = h(2-h)$

per h=0, il rango della matrice

$((0,0,1),(1,1,1),(0,0,1))$
è uguale a $2$

quindi posso dire che $KerL_0$ è uguale a tutte le terne (x,y,z) tali che $z=0$ e $x+y=0 => y=-x$. Il nucleo è dato dalla terna $<(1,-1,0)>

$ImL_0 = <(0,1,0),(1,1,1)>$

per $h = 2$, il rango della matrice è $2$
$((2,0,1),(1,1,1),(0,2,1))$

$ImL_2=<(2,1,0),(0,1,2)>$
$KerL_2=<(1,1,-2)>$

dovrebbe essere tutto giusto, mi chedo solo se ho omesso qualche passaggio oppure mi manca qualcosa per la risoluzione di tutto l'esercizio.

[_prime_number]

Va tutto bene, ho controllato anche i conti.
L'unica è che manca il caso $h\ne0, h\ne 2$

Paola

[MakaSum]

Io ho visto un appunto che avevo scritto sul foglio di questo esercizio, però nonostante avessi cercato in rete, non riuscivo proprio a capire perché l'avessi scritto:
ho scritto che per $L_h$= automorfismo. Il rango è 3, quindi ImL dovrebbe essere dato da tutte e tre le colonne, KerL invece?

Aggiornamento:
KerL dovrebbe essere $(-1,1,0)$

[_prime_number]

Esatto, in quell'ultimo caso mancante il rango della matrice è $3$ è un base per l'immagine è formata dalle sue colonne.
Per quanto riguarda il Ker, esso ha dimensione $0$, dato che si deve avere $3=dim(Imf) + dim(Kerf)$.

Paola

edit:vedi qui.

[MakaSum]

Quindi in sostanza la somma tra $dim(ImL) + dim(KerL)$ deve essere uguale alla grandezza dello spazio? (in questo caso 3)

[_prime_number]

Sì, dello spazio di partenza.

Paola

[MakaSum]

Come al solito, grazie mille!