Kerf e immagine

[Fab996]

Data questa applicazione lineare$f:R^(3)->R^(3) (x,y,z)->(-x+y+kz,3x+3y+2z,4x+2y+kz)$ se >$k=-12/13$ mi viene che il rango è $2$ quindi la dimensione dello spazio dell'immagine è $2$ e del kerf $1$. La base del kerf l'ho trovata, mentre per la base dell'immagine passo alla matrice $((-1,1,-12/13),(3,3,2),(4,2,-12/13))$ quindi prendo dei vettori colonna indipendenti per determinare la base dell'immagine, prendo la prima e la seconda colonna, ridotta a gradini, mi viene che il rango è uguale al numero di colonne, quindi i vettori sono indipendenti, solo l'ultima riga nulla, quindi teoricamente sarebbero anche dipendenti...

[Gio23121]

Il rango di una matrice a scalini è dato dal numero di righe non nulle.
Se l'ultima è nulla il rango è giustamente 2. Per quanto riguarda l'indipendenza lineare ti conviene ragionare con i minori, prendi le prime due colonne, se uno dei minori ha det diverso da 0 i vettori sono linearmente indipendenti quindi i vettori (-1,3,4),(1,3,2) formano una base di Im(f) perchè il minore $ ( ( 3 , 3),( 4 , 2 ) ) $ ha det diverso da 0

[Fab996]

grazie!