Ker(f) e Im(f) con R^4

[Kernul]

L'esercizio mi dice:
Sia $f:RR^4->RR^4$ l'endomorfismo definito da
$f((x,y,z,t))=(-5x+2y, -10x+4y, 2x-y+4z+5t, -z-2t)$
Determinare una base e la dimensione di $Ker(f)$ e $Im(f)$. Completare la base scelta in $Ker(f)$ a base in $RR^4$.

Io l'ho risolto in questo modo:
La matrice è $A=((-5,2,0,0),(-10,4,0,0),(2,-1,4,5),(0,0,-1,-2))$
Il rango della matrice è $3$, dato che le prime due righe della matrice sono dipendenti(La seconda è il doppio della prima). La dimensione di $Im(f)=\rho(A)=3$ e come base di $Im(f)$ basta scegliere 3 colonne della matrice, ad esempio le prime tre. Avremo quindi $B_(Im(f))=[A^1,A^2,A^3]$.
Per avere la dimensione di $Ker(f)$ basta sottrarre il $4$ del primo $RR^4$(Al momento non mi viene in mente come si chiama, vi prego di dirmelo XD) con la dimensione di $Im(f)$. Avremo così che la dimensione di $Ker(f)=1$. A questo punto la base di $Ker(f)$ si calcolerà in questo modo:
Prendiamo le tre equazioni delle tre righe indipendenti e impostiamo una delle incognite $(x,y,z,t)$ uguale ad un parametro $a$. Io pongo $t=a$ e avremo quindi:
$\{(-5x+2y=0),(2x-y+4z+5t=0),(-z-2t=0),(t=a):}$ $\{(-5x+2y=0),(2x-y+4z+5t=0),(z=-2ta),(t=a):}$ $\{(-5x+2y=0),(2x-y-8a+5a=0),(z=-2a),(t=a):}$ $\{(-5x+2y=0),(y=2x-3a),(z=-2a),(t=a):}$ $\{(-5x+4x-6a=0),(y=2x-3a),(z=-2a),(t=a):}$ $\{(x=-6a),(y=2x-3a),(z=-2a),(t=a):}$ $\{(x=-6a),(y=-15a),(z=-2a),(t=a):}$
Avremo quindi che:
$Ker(f)={((-6a),(-15a),(-2a),(a))=a*((-6),(-15),(-2),(1)):a in RR}$
$B_(Ker(f))=[((-6),(-15),(-2),(1))]$

A questo punto l'esercizio mi chiede "Completare la base scelta in $Ker(f)$ a base in $RR^4$." ma non capisco cosa intende con questo. Cosa devo fare?

[Papapicco]

Vale il Teorema di completamento a base;
per evitarti Wikipedia te ne faccio un esempio proprio tramite il tuo esercizio:
tu hai

$Kerf=$\ell$[([-6],[-15],[-2],[1])]$,

per completarlo in maniera tale che formi una base di $RR^4$ basta prendere altri 3 vettori liberi in maniera che siano ,assieme a quello che hai già trovato, tutti linearmente indipendenti.
In genere si prendono i vettori della base canonica e si mettono a matrice con il/i vettore/i che hai già e si applicano le riduzioni(NB:si scrive una matrice come quella sotto ma in maniera tale che una linea orizzontale separi gli elementi canonici da quelli già trovati;questo per ricordarti che le riduzioni delle righe sotto la riga possono avvenire solo tramite quellesoprariga.). Quindi:

$((-6,-15,-2,1),(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$

Applichi le riduzioni e ti prendi 3 di quei 4 vettori canonici per completare $Ker f$ in maniera che sia base di $RR^4$.
Spero di esserti stato utile

[Kernul]

Okay, ho capito come si forma la base, però cosa sono le riduzioni? (Forse lo so fare ma magari non mi ricordo come si chiamano XD)

[Papapicco]

Come fai a calcolare il rango di una matrice?

[Kernul]

Ho visto su Wikipedia l'esempio. Facendo un calcoletto si viene a sapere che $(0,0,0,1)$ è dipendente dal mio vettore e quindi si elimina e rimane la matrice $((-6,-15,-2,1),(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0))$.
Praticamente si vede se sono tutti linearmente indipendenti e l'ultima riga mi pare dovrebbe essere $A_5=A_1-6A_2-15A_2-2A_4$
Ti trovi con me?

[Papapicco]

Exactly
Le riduzioni possono avvenire per riga o per colonna.
Ad esempio:

$((1,2,4),(1,0,2))$ , $R2\leftarrowR2-R1$

che equivale a dire "al posto della Riga 2 ci metto la Riga 2 meno la Riga 1", ottenendo la matrice ridotta

$((1,2,4),(0,-2,-2))$

Occhio se devi calcolare il determinante perchè può cambiare se applichi delle particolari riduzioni!

[Kernul]

Capito! Grazie mille!