Ker e Immagine di applicazioni lineari
Ragazzi/e ho bisogno di aiuto!!!!!
Dovevo fare questo esercizio:
Si consideri l’applicazione lineare f : R3 → R3 definita da
f (1, 1, 1) = (1, 1, 1)
f (0, 1, -1) = (0, 0, 0)
f ( 1, -1, 0) = (0, 0, 0)
Si determini A ∈ R3×3 tale che f = LA. Si determinino ker f e
Im f.
Ho trovato A che è la matrice con 1/3 al posto di tutti i numeri perché mi viene che la somma di ogni riga è uguale a 1 e ogni numero è uguale agli altri 2 della stessa riga...ho trovato anche il ker che dovrebbe essere lo spazio vettoriale generato da questi 2 vettori colonna: (-1, 1, 0) e (-1, 0, 1)
perché ho messo che 1/3 x1 + 1/3 x2 +1/3 x3 = o dunque x1 + x2 + x3 = 0 dunque x1 = -x2 -x3
Ora, sperando che quello che ho fatto finora sia giusto non so come trovare l'immagine di f...qualcuno può spiegarmelo..?
Ho scritto tutti i vettori colonna come vettori riga per praticità.
Grazie in anticipo!!!
Dovevo fare questo esercizio:
Si consideri l’applicazione lineare f : R3 → R3 definita da
f (1, 1, 1) = (1, 1, 1)
f (0, 1, -1) = (0, 0, 0)
f ( 1, -1, 0) = (0, 0, 0)
Si determini A ∈ R3×3 tale che f = LA. Si determinino ker f e
Im f.
Ho trovato A che è la matrice con 1/3 al posto di tutti i numeri perché mi viene che la somma di ogni riga è uguale a 1 e ogni numero è uguale agli altri 2 della stessa riga...ho trovato anche il ker che dovrebbe essere lo spazio vettoriale generato da questi 2 vettori colonna: (-1, 1, 0) e (-1, 0, 1)
perché ho messo che 1/3 x1 + 1/3 x2 +1/3 x3 = o dunque x1 + x2 + x3 = 0 dunque x1 = -x2 -x3
Ora, sperando che quello che ho fatto finora sia giusto non so come trovare l'immagine di f...qualcuno può spiegarmelo..?
Ho scritto tutti i vettori colonna come vettori riga per praticità.
Grazie in anticipo!!!
Risposte
Cosa significa la notazione $f=LA$? Inoltre non capisco perché devi avere la somma di ogni riga pari a $1$ (ma forse la risposta a questa domanda deriva dalla risposta alla prima).
Paola
Paola
f = LA vuol dire che A è la matrice tale che un qualunque vettore colonna a 3 elementi che chiamiamo v moltiplicato per essa determina la formazione dello stesso vettore w tale che w = f(v)
dalla relazione f(1, 1, 1) = (1, 1, 1) facendo il prodotto riga (della matrice A) per colonna (un qualunque vettore colonna) ottengo 1...e so che il secondo e terzo elemento di ogni riga sono uguali per il fatto che f(0, 1, -1) = (0, 0, 0) e che il primo e terzo sono uguali perché f(-1, 0, 1) = (0, 0, 0)...il mio problema è che non so determinare l'immagine di f...qualche idea..?
dalla relazione f(1, 1, 1) = (1, 1, 1) facendo il prodotto riga (della matrice A) per colonna (un qualunque vettore colonna) ottengo 1...e so che il secondo e terzo elemento di ogni riga sono uguali per il fatto che f(0, 1, -1) = (0, 0, 0) e che il primo e terzo sono uguali perché f(-1, 0, 1) = (0, 0, 0)...il mio problema è che non so determinare l'immagine di f...qualche idea..?
Ok, ho capito. Intanto nota che la tua funzione è ben definita in quanto
$v_1= ((1),(1),(1)), v_2=((0),(1),(-1)) , v_3=((1),(-1),(0))$ formano una base (basta metterli come colonne di una matrice e notare che ha determinante non nullo, quindi rango $3$). Dunque, secondo la definizione data di $f$, la matrice $A$ sarà $((1,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$ (la colonna $j$-esima è formata dal vettore $f(v_j)$ in coordinate rispetto alla base $B={v_1,v_2,v_3}$).
Ora, ricorda che le colonne di $A$ sono i generatori di $Im f$. Essendo due colonne nulle, è immediato capire che $Im f =L(((1),(0),(0))_B )= L(((1),(1),(1)))$. Inoltre ricorda il teorema del rango: devi avere che $3=dim(Ker f) + dim(Im f)$ quindi $dim(Ker f)=2$. Ora, è già la matrice $A$ che ti dice chi è $Ker f$, in quanto ha due colonne nulle! Ci dice infatti che $v_2,v_3$ appartengono a $Ker f$. Essendo essi linearmente indipendenti (sono vettori di una base!) genereranno un sottospazio di dimensione $2$, che deve quindi coincidere necessariamente (teorema della dimensione) con lo stesso $Ker f$. In conclusione:
$Im f = L(v_1), Ker f= L(v_2, v_3)$.
Paola
$v_1= ((1),(1),(1)), v_2=((0),(1),(-1)) , v_3=((1),(-1),(0))$ formano una base (basta metterli come colonne di una matrice e notare che ha determinante non nullo, quindi rango $3$). Dunque, secondo la definizione data di $f$, la matrice $A$ sarà $((1,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$ (la colonna $j$-esima è formata dal vettore $f(v_j)$ in coordinate rispetto alla base $B={v_1,v_2,v_3}$).
Ora, ricorda che le colonne di $A$ sono i generatori di $Im f$. Essendo due colonne nulle, è immediato capire che $Im f =L(((1),(0),(0))_B )= L(((1),(1),(1)))$. Inoltre ricorda il teorema del rango: devi avere che $3=dim(Ker f) + dim(Im f)$ quindi $dim(Ker f)=2$. Ora, è già la matrice $A$ che ti dice chi è $Ker f$, in quanto ha due colonne nulle! Ci dice infatti che $v_2,v_3$ appartengono a $Ker f$. Essendo essi linearmente indipendenti (sono vettori di una base!) genereranno un sottospazio di dimensione $2$, che deve quindi coincidere necessariamente (teorema della dimensione) con lo stesso $Ker f$. In conclusione:
$Im f = L(v_1), Ker f= L(v_2, v_3)$.
Paola
Grazie davvero...sei stata chiara e precisa 
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