Ker diverso da zero
sia f un'applicazione lineare di R4 in R4 tale che ker sia diverso da zero; allora Im f diverso da R4
V o F??
vorrei capire che informazioni ci può dare il valore di ker
grazie $10^3$
V o F??
vorrei capire che informazioni ci può dare il valore di ker
grazie $10^3$
Risposte
Ciao.
Il $"ker"f$ è un sottospazio e quindi non ha una valore: sarebbe meglio dire che "il nucleo non è banale", o che "non è ridotto al solo vettore nullo", anzichè dire il nucleo è diverso da 0 (che è un'espressione non molto pulita).
In ogni caso la tua domanda ha risposta ovvia, se pensi ad esempio alla relazione che lega la dimensione del nucleo con quella dell'immagine (con l'immagine del dominio).
Il $"ker"f$ è un sottospazio e quindi non ha una valore: sarebbe meglio dire che "il nucleo non è banale", o che "non è ridotto al solo vettore nullo", anzichè dire il nucleo è diverso da 0 (che è un'espressione non molto pulita).
In ogni caso la tua domanda ha risposta ovvia, se pensi ad esempio alla relazione che lega la dimensione del nucleo con quella dell'immagine (con l'immagine del dominio).
ehm..... ehm....., sinceramente non ho capito nulla 
Allora, che cosa sai sulle applicazioni lineari? Sai che cos'è il nucleo di un'applicazione (il $"ker"$)?
sì so cos'è il ker, ovvero tutte le compnenti di V nell' appl. lin. V---> W tali che hanno come Im 0, giusto?
"duff":
sì so cos'è il ker
Ti dispiacerebbe essere un po' meno sintetico, per cortesia? Siamo qui per aiutarti non per risolverti l'esercizio.
Da quello che hai scritto nel primo post non mi sembra proprio che tu sappia che cos'è il nucleo di un'applicazione lineare (parlavi di "valori" del nucleo).
Comunque, se sai che cos'è il nucleo, allora dovresti sapere anche come si determina la sua dimensione...
Ho visto adesso l'edit.
E' un po' scritta male come definizione, ma è già qualcosa. Comunque, sai come si determina il nucleo di un'applicazione? E come si trova la sua dimensione?
Conosci la relazione $"dim ker" f + "dim im"f = n$?
E' un po' scritta male come definizione, ma è già qualcosa. Comunque, sai come si determina il nucleo di un'applicazione? E come si trova la sua dimensione?
Conosci la relazione $"dim ker" f + "dim im"f = n$?
la relazione di grassman...... sì ho una confusione in testa 
Sì, altri la chiamano anche teorema di nullità più rango.
In ogni caso, qui $n$ vale $4$, che è la $dim RR^4$. Vedi subito che, se $"dim ker" f >0$ allora $"dim im"f$...
Hai capito?
P.S. Ti faccio notare che non è l'unico modo questo: potevi concludere subito ricordando che iniettività e suriettività di un endomorfismo sono "molto" legate...
In ogni caso, qui $n$ vale $4$, che è la $dim RR^4$. Vedi subito che, se $"dim ker" f >0$ allora $"dim im"f$...
Hai capito?
P.S. Ti faccio notare che non è l'unico modo questo: potevi concludere subito ricordando che iniettività e suriettività di un endomorfismo sono "molto" legate...
in effetti l'esercizio era banale, solo che ho tante nozioni in testa e non so come applicarle
hai toccato però un'altra mia debolezza, mi potresti spiegare con semplici parole iniettività, suriettività e endomorfismo?
se ho capito bene (e credo di no); iniettiva quando COLONNE DI "A" = r(A)
suriettiva quando r(A) diversa da COLONNE DI A
hai toccato però un'altra mia debolezza, mi potresti spiegare con semplici parole iniettività, suriettività e endomorfismo?
se ho capito bene (e credo di no); iniettiva quando COLONNE DI "A" = r(A)
suriettiva quando r(A) diversa da COLONNE DI A
"duff":
in effetti l'esercizio era banale, solo che ho tante nozioni in testa e non so come applicarle
Tranquillo, capita a tutti di fare confusione (specie in geometria e algebra lineare
). Hai capito tutto comunque riguardo l'esercizio?
hai toccato però un'altra mia debolezza, mi potresti spiegare con semplici parole iniettività, suriettività e endomorfismo?
Allora, ci provo con parole "semplici".
Endomorfismo: questo è facile. E' un'applicazione lineare il cui dominio (insieme di partenza) coincide con il codominio (insieme di arrivo). Se $V$ indica uno spazio vettoriale qualsiasi, allora un endomorfismo è una qualsiasi applicazione lineare $f: V to V$. Ok fin qui? Ti invito a fare una piccola riflessione: gli endomorfismi di uno spazio vettoriale sono molto importanti (se non li hai ancora studiati, lo capirai presto proseguendo i tuoi studi): prova a capire perchè (in particolare pensa al tipo di matrici associate agli endomorfismi).
Suriettività-iniettività: è una caratteristica delle funzioni in generale.
Nell'ambito delle applicazioni lineari, è utile ricordare che se $f: V to W$ è un applicazione lineare $f$ è iniettiva se e solo se il $"ker" f ={0_V}$ (con $0_V$ intendo il vettore nullo di $V$). A livello teorico, l'essere iniettivo significa che elementi distinti hanno immagini distinte.
Per quanto riguarda la suriettività, in ambito lineare, è facile da verificare: bisogna vedere se $"im" f = W$ (nelle ipotesi di prima: $f: V to W$, lineare). L'immagine la leggi sempre sulle colonne e la sua dimensione è pari al rango della matrice associata a $f$ (rispetto a basi fissate in $V$ e in $W$). Quindi in parole povere: quando hai un'applicazione lineare $f: V to W$ ne scrivi la matrice associata rispetto a due basi scelte e poi:
1. ne trovi il rango (supponi sia $k$): questo numero è la dimensione dell'immagine. Allora ti basta prendere $k$ colonne linear. indipendenti e sei a posto: quella è una base dell'immagine.
2. per il nucleo, calcoli il nullspace della matrice e hai finito.
In ogni caso, ti rimando alla guida di Sergio, uno dei topic in cima alla sezione: lì è tutto spiegato molto bene.
Se hai ancora dubbi fai un fischio.
molto chiaro, però devo ancora esercitarmi parecchio........... veramente grazie di cuore, ti devo una birra (virtualmente )................ho una curiosità, cosa studi?
)................ho una curiosità, cosa studi?
"duff":
molto chiaro, però devo ancora esercitarmi parecchio...........
Buon esercizio e se hai dubbi sai che cosa fare.
veramente grazie di cuore, ti devo una birra (virtualmente
Quando vuoi
Comunque figurati, è un piacere.
..ho una curiosità, cosa studi?
Studio Matematica, I anno.
Dove?
quindi non esiste una trasformazione lineare da R3 a R4 e che sia suriettiva? giusto?? qualunque sia il ker
"magri":
quindi non esiste una trasformazione lineare da R3 a R4 e che sia suriettiva? giusto?? qualunque sia il ker
SURIETTVA: quando il rango della matrice è uguale al numero di colonne
quello che stai esponendo te non è un endomorfismo, quindi la matrice associata all'applicazione lineare in questione non sarà quadrata, quindi la nostra matrice associata sarà $A=mXn$
prendi in considerazione le relazioni fra le dimensioni:
$n=rk(A)+ dim(ker(A))$ equivalente a dire $n=rk(A)+dim(ker(A))
con $n=$numero di colonne della matrice
una matrice di questo genere non potrà mai avere rango uguale al numero di colonne, quindi credo proprio che è come dici tu, una matrice che non è un endomorfismo non può essere suriettiva
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