Isomorfismo tra spazi vettoriali
Ho un piccolo dubbio sul testo di questo esercizietto:
" Si dimostri che se faccio corrispondere al vettore : $ vecv= v_1veca_1+...+v_nveca_n $ la n-upla $ (v_1+1,...,v_n+1) $
ottengo si una corrispondenza biunivoca tra spazi vettoriali, ma non un isomorfismo"
Insomma!!
ora la definizione di isomorfismo e corrispondenza biunivoca non dovrebbero implicare l'una la validità dell'altra ?
forse mi confondo?
" Si dimostri che se faccio corrispondere al vettore : $ vecv= v_1veca_1+...+v_nveca_n $ la n-upla $ (v_1+1,...,v_n+1) $
ottengo si una corrispondenza biunivoca tra spazi vettoriali, ma non un isomorfismo"
Insomma!!
ora la definizione di isomorfismo e corrispondenza biunivoca non dovrebbero implicare l'una la validità dell'altra ?
forse mi confondo?
Risposte
Un isomorfismo, oltre a essere un'applicazione biiettiva, deve trasportare anche la struttura (in questo caso di spazio vettoriale).
In particolare, se \(T\) è la tua applicazione biiettiva, essa deve anche essere lineare.
In particolare, se \(T\) è la tua applicazione biiettiva, essa deve anche essere lineare.
ok...quindi condizione necessaria ma non sufficiente...
volevo sapere un'altra cosetta:
questa sono degli appunti ma mi pare che ci sia un errore,ecco l'immagine originale
http://tinypic.com/view.php?pic=30mamh3&s=8
come dice il testo ripreso in quell'immagine se si considera una spazio vettoriale $ V $ e i suoi vettori $ vecv $ e possibile far corrispondere per OGNI $ vecv in V $ un corrispettivo $ vecv^{\prime} in V^{\prime} $ attraverso l'OPERATORE "proiezione di ogni vettore $ vecvin V $ sulla retta r".
la corrispondenza che si crea tra i due insiemi $ V, V^{\prime} $ è univoca,cioè $ vecv->vecv^{\prime} $ : ad OGNI vettore dello spazio iniziale viene corrisposto un e uno solo vettore di uno spazio d'arrivo ma NON vale viceversa,infatti ad ogni vettore dello spazio d'arrivo può corrispondere più di un vettore dello spazio iniziale.
La relazione tra gli elementi dei due insiemi è percio univoca e non biunivoca.
Questo è ciò che è scritto anche nel testo della foto da me fatta.
ORA,però,se si segue quanto detto non mi corrisponde il disegnino(schema) che appare nella FOTO del link indicato.
In particolare ciò che non mi torna sono il verso delle freccette associate all'applicazione "proiezione su una retta dei vettori di uno spazio".
Abbiamo detto che la corrispondenza che si viene a creare è UNIVOCA...non dovrebbero percio essere le frecce ORIZZONTALI nel disegno MONODIREZIONALI,aventi cioè un solo verso? (quello da sinistra verso destra)
se qualcuno puo darmi una conferma,mi farebbe un grande piacere!!
volevo sapere un'altra cosetta:
questa sono degli appunti ma mi pare che ci sia un errore,ecco l'immagine originale
http://tinypic.com/view.php?pic=30mamh3&s=8
come dice il testo ripreso in quell'immagine se si considera una spazio vettoriale $ V $ e i suoi vettori $ vecv $ e possibile far corrispondere per OGNI $ vecv in V $ un corrispettivo $ vecv^{\prime} in V^{\prime} $ attraverso l'OPERATORE "proiezione di ogni vettore $ vecvin V $ sulla retta r".
la corrispondenza che si crea tra i due insiemi $ V, V^{\prime} $ è univoca,cioè $ vecv->vecv^{\prime} $ : ad OGNI vettore dello spazio iniziale viene corrisposto un e uno solo vettore di uno spazio d'arrivo ma NON vale viceversa,infatti ad ogni vettore dello spazio d'arrivo può corrispondere più di un vettore dello spazio iniziale.
La relazione tra gli elementi dei due insiemi è percio univoca e non biunivoca.
Questo è ciò che è scritto anche nel testo della foto da me fatta.
ORA,però,se si segue quanto detto non mi corrisponde il disegnino(schema) che appare nella FOTO del link indicato.
In particolare ciò che non mi torna sono il verso delle freccette associate all'applicazione "proiezione su una retta dei vettori di uno spazio".
Abbiamo detto che la corrispondenza che si viene a creare è UNIVOCA...non dovrebbero percio essere le frecce ORIZZONTALI nel disegno MONODIREZIONALI,aventi cioè un solo verso? (quello da sinistra verso destra)
se qualcuno puo darmi una conferma,mi farebbe un grande piacere!!
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