Isomorfismo tra spazi n-dimensionale
Due spazi vettoriali finitamente generati sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione.
Dimostrazione (<-):
Siano V e W spazi vettoriali sul corpo C di dimensione n.
Allora $V~=C^n~=W$, quindi $V~=W$.
Dubbio: Come mostro che uno spazio vettoriale V di dimensione n e' isomorfo allo spazio vettoriale standard $C^n$?
Dimostrazione (->):
Se $V~=W$ e W ha dimensione n allora $V~=W~=C^n$
Corretto?
Dimostrazione (<-):
Siano V e W spazi vettoriali sul corpo C di dimensione n.
Allora $V~=C^n~=W$, quindi $V~=W$.
Dubbio: Come mostro che uno spazio vettoriale V di dimensione n e' isomorfo allo spazio vettoriale standard $C^n$?
Dimostrazione (->):
Se $V~=W$ e W ha dimensione n allora $V~=W~=C^n$
Corretto?
Risposte
Dimostrazione ($\Leftarrow$)
Se uno spazio ha dimensione $n$ significa, per definizione, che esiste una base di $n$ vettori. Fissata una base, come si può costruire un isomorfismo fra $V$ e $CC^n$? Pensa alle componenti...Se ci sono problemi chiedi pure...
Dimostrazione ($\Rightarrow$)
Così tu provi che $V$ è isomorfo a $CC^n$ ed è giusto. Per provare che $V$ ha dimensione $n$ devi provare una base di $V$ di $n$ vettori. Qual è questa base? Tieni conto che un isomorfismo di spazi vettoriali trasforma basi in basi...
Se uno spazio ha dimensione $n$ significa, per definizione, che esiste una base di $n$ vettori. Fissata una base, come si può costruire un isomorfismo fra $V$ e $CC^n$? Pensa alle componenti...Se ci sono problemi chiedi pure...
Dimostrazione ($\Rightarrow$)
Così tu provi che $V$ è isomorfo a $CC^n$ ed è giusto. Per provare che $V$ ha dimensione $n$ devi provare una base di $V$ di $n$ vettori. Qual è questa base? Tieni conto che un isomorfismo di spazi vettoriali trasforma basi in basi...
Dimostrazione <-
Sia ${v_1,...,v_n}$ base di V, allora scelgo ${w_1,...,w_n}$ come base di W e pongo $phi(x_1v_1+...+x_nv_n)=x_1w_1+...+x_nw_n$ giusto?
Dimostrazione ->
Ovviamente la base canonica di $C^n$ ha n vettori e quindi anche quella di n, corretto?
Sia ${v_1,...,v_n}$ base di V, allora scelgo ${w_1,...,w_n}$ come base di W e pongo $phi(x_1v_1+...+x_nv_n)=x_1w_1+...+x_nw_n$ giusto?
Dimostrazione ->
Ovviamente la base canonica di $C^n$ ha n vettori e quindi anche quella di n, corretto?
un isomorfismo è in particolare un epimorfismo quindi $Imf=V'$ da quindi si ha $dimImf=dimV'$; in particolare è anche un monomorfismo quindi si ha che il nucleo di f è banale ovvero $kerf=0_v$ quindi $dimKerf=0$. Dalla relazione $dimV=dimKerf+dimImf$ ottieni che $dimV=dimV'$
"thedarkhero":
Dimostrazione ->
Ovviamente la base canonica di $C^n$ ha n vettori e quindi anche quella di n, corretto?
anche quella di $V'$ volevi dire per caso? Altrimenti non ho capito!
In realtà tu hai dimostrato che ogni spazio di dimensione $n$ è isomorfo a $CC^n$ ma per dimostrarlo hai sfruttato il fatto che un iso trasforma basi in basi e per dimostrare questo usi il fatto che due spazio sono isormorfi quindi hanno la stessa dimensione... non so se si possa operare diversamente!
Dimostrazione ($Leftarrow$)
Ok. Ti resta da provare che l'applicazione $\phi:V\to W$ che hai definito è un isomorfismo. Non è difficile, prova a farlo.
Dimostrazione ($Rightarrow$)
Ok, $V$ e $C^n$ sono isomorfi, $C^n$ ha una base di $n$ vettori (la base canonica), l'isomorfismo trasforma tale base in una base di $V$ che appunto sarà formata da $n$ vettori. Quindi $V$ ha dimensione $n$.
Però puoi evitare di passare da $C^n$. Se $V$ e $W$ sono isomorfi, esiste un isomorfismo $\phi:V\to W$. Se $V$ ha una base di $n$ vettori, allora l'immagine di tali vettori sarà una base di $W$ che perciò ammette una base di $n$ vettori. Quindi anche $W$ ha dimensione $n$.
@ mistake: Il tuo ragionamento dimostra solo un'implicazione, precisamente la $Rightarrow$.
Ok. Ti resta da provare che l'applicazione $\phi:V\to W$ che hai definito è un isomorfismo. Non è difficile, prova a farlo.
Dimostrazione ($Rightarrow$)
Ok, $V$ e $C^n$ sono isomorfi, $C^n$ ha una base di $n$ vettori (la base canonica), l'isomorfismo trasforma tale base in una base di $V$ che appunto sarà formata da $n$ vettori. Quindi $V$ ha dimensione $n$.
Però puoi evitare di passare da $C^n$. Se $V$ e $W$ sono isomorfi, esiste un isomorfismo $\phi:V\to W$. Se $V$ ha una base di $n$ vettori, allora l'immagine di tali vettori sarà una base di $W$ che perciò ammette una base di $n$ vettori. Quindi anche $W$ ha dimensione $n$.
@ mistake: Il tuo ragionamento dimostra solo un'implicazione, precisamente la $Rightarrow$.
sisi cirasa... perchè la prima implicazione mi sembrava corretta e non ho voluto dir nulla!
Sia ${v_1,...,v_n}$ base di V, allora scelgo ${w_1,...,w_n}$ come base di W e pongo $phi(x_1v_1+...+x_nv_n)=x_1w_1+...+x_nw_n$.
Allora $kerphi=<0>$ perchè ${w_1,...,w_n}$ è base di W (quindi $phi$ è iniettiva).
$im phi==W$ quindi $phi$ è suriettiva.
Dovrebbe essere tutto ok, no?
Allora $kerphi=<0>$ perchè ${w_1,...,w_n}$ è base di W (quindi $phi$ è iniettiva).
$im phi=
Dovrebbe essere tutto ok, no?
mi ponevo una domanda: è possibile dimostrare che un isomorfismo trasforma basi di $V$ in basi di $V'$ senza sapere a priori che due spazi sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione?
cioè se $dimV=n$ e $dimV'=m$ ed ho un isomorfismo $f:V->V'$ è possibile dimostrare che $m=n$ e che $f$ trasforma basi di $V$ in basi di $V'$?
cioè se $dimV=n$ e $dimV'=m$ ed ho un isomorfismo $f:V->V'$ è possibile dimostrare che $m=n$ e che $f$ trasforma basi di $V$ in basi di $V'$?
@ thedarkhero: Ora è tutto ok! Ti basta solo tirare solo le fila del discorso.
@mistake89: Per definizione, due spazi vettoriali $V$ e $V'$ sono isomorfi se e solo se esiste un isomorfismo $\phi:V\to V'$.
Quindi l'implicazione "Se esiste un isomorfismo $\phi:V\to V'$, allora $n=m$" è dimostrata con l'argomentazione che hai fatto tu in precedenza.
Anche l'affermazione "$V$, $V'$ di dimensione finita. Se esiste, un isomorfismo $\phi:V\to V'$ trasforma basi di $V$ in basi di $V'$" è vera. Se ti va, prova a dimostrarla!
@mistake89: Per definizione, due spazi vettoriali $V$ e $V'$ sono isomorfi se e solo se esiste un isomorfismo $\phi:V\to V'$.
Quindi l'implicazione "Se esiste un isomorfismo $\phi:V\to V'$, allora $n=m$" è dimostrata con l'argomentazione che hai fatto tu in precedenza.
Anche l'affermazione "$V$, $V'$ di dimensione finita. Se esiste, un isomorfismo $\phi:V\to V'$ trasforma basi di $V$ in basi di $V'$" è vera. Se ti va, prova a dimostrarla!
sia$B={v_1,...,v_n}$ base di $V$. Questo equivale a dire, per definizione, che $V=$ e che $v_1,...,v_n$ sono linearmente indipendenti. Ora io so che $Imf=V'$ per quanto provato sopra, quindi $V'={f(v_1),...,f(v_n) }$. Poi so anche un isomorfismo, essendo in particolare un monomorfismo, trasforma vettori linearmente indipendenti in vettori linearmente indipendenti, quindi in conclusione $B'={f(v_1),...f(v_n) }$ è una base di $V'$
corretto?
corretto?
Grazie mille,ancora una volta!
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