Isomorfismo tra spazi di coomologia (Mayer-Vietoris)
Salve, mi trovo davanti ad un fatto apparentemente banale riguardante la coomologia di De Rahm e la sequenza di Mayer-Vietoris.
Ho studiato il Teorema seguente
Siano $U_1 , U_2 $ due aperti di di $\mathbb{R}^n$ e sia $U=U_1\cupU_2$. Per $\nu = 1,2$ siano $i_{\nu}: U_{\nu} \rightarrow U$ e $j_{\nu}:U_1\capU_2 \rightarrow U_{\nu}$ le rispettive inclusioni. Allora la sequenza
è esatta, con $I^p:\Omega^p(U) \rightarrow \Omega^p(U_1)\oplus \Omega^p(U_2)$ e $J^p: \Omega^p(U_1)\oplus \Omega^p(U_2)\rightarrow \Omega^p(U_1\capU_2)$ determinata come nella sequenza di Mayer-Vietoris
In particolare $I^p$ è ingettiva per avere la sequenza esatta. Successivamente viene detto che se i due aperti sono disgiunti, allora $I^p$ è un isomorfismo.
Il motivo è che non avendo più senso parlare di $\Omega^p(U_1\capU_2)$ (chi sono le p-forme sul vuoto?) si considera solo la sequenza
per cui $I^p$ è pure surgettiva
oppure, come ho trovato scritto non sul mio libro, ma nell'unica dispensa online in cui ho trovato questa cosa, che $\Omega^p(\emptyset) = 0 $ semplicemente per definizione (sinceramente non i sembra una cosa molto coerente dal mio personale punto di vista)? Oppure qualcos'altro?
Ho studiato il Teorema seguente
Siano $U_1 , U_2 $ due aperti di di $\mathbb{R}^n$ e sia $U=U_1\cupU_2$. Per $\nu = 1,2$ siano $i_{\nu}: U_{\nu} \rightarrow U$ e $j_{\nu}:U_1\capU_2 \rightarrow U_{\nu}$ le rispettive inclusioni. Allora la sequenza
$0 \rightarrow \Omega^p(U) \rightarrow \Omega^p(U_1)\oplus \Omega^p(U_2) \rightarrow \Omega^p(U_1\capU_2) \rightarrow 0$
è esatta, con $I^p:\Omega^p(U) \rightarrow \Omega^p(U_1)\oplus \Omega^p(U_2)$ e $J^p: \Omega^p(U_1)\oplus \Omega^p(U_2)\rightarrow \Omega^p(U_1\capU_2)$ determinata come nella sequenza di Mayer-Vietoris
In particolare $I^p$ è ingettiva per avere la sequenza esatta. Successivamente viene detto che se i due aperti sono disgiunti, allora $I^p$ è un isomorfismo.
Il motivo è che non avendo più senso parlare di $\Omega^p(U_1\capU_2)$ (chi sono le p-forme sul vuoto?) si considera solo la sequenza
$0 \rightarrow \Omega^p(U) \rightarrow \Omega^p(U_1)\oplus \Omega^p(U_2) \rightarrow 0$
per cui $I^p$ è pure surgettiva
oppure, come ho trovato scritto non sul mio libro, ma nell'unica dispensa online in cui ho trovato questa cosa, che $\Omega^p(\emptyset) = 0 $ semplicemente per definizione (sinceramente non i sembra una cosa molto coerente dal mio personale punto di vista)? Oppure qualcos'altro?
Risposte
CIa0,
ti lascio giusto una cosettina en passant:
Prova a leggerti il capitolo 5 di Warner - Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, o il capitolo 2 di Wells R. O. Jr., Garcia-Prada O. - Differential Analysis on Complex Manifolds.
ti lascio giusto una cosettina en passant:
"sonicfal":Veramente lo si dimostra utilizzando la teoria dei fasci e il fatto che l'insieme vuoto è l'oggetto iniziale nella categoria degli insiemi.
...oppure... che $ \Omega^p(\emptyset) = 0 $ semplicemente per definizione (sinceramente non i sembra una cosa molto coerente dal mio personale punto di vista)? Oppure qualcos'altro?
Prova a leggerti il capitolo 5 di Warner - Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, o il capitolo 2 di Wells R. O. Jr., Garcia-Prada O. - Differential Analysis on Complex Manifolds.
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