Isomorfismo tra matrici e numeri complessi

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4 set 2010, 18:25

Vi chiedo un aiuto sul seguente esercizio di analisi funzionale:
Si consideri l'insieme $M_{2,2}$ delle matrici quadrate due per due con elementi di matrice complessa:
- Si dimostri che $M_{2,2}$ è isomorfo a $C^4$ ;
- data $ A = ((2-i,-i),(1,2)) $, si dimostri che l'applicazione $ A : M_{2,2} -> M_{2,2} A(M) : M^{\prime} = AM $ (ovvero l'appliacazione mappa una matrice $ M $ nel prodotto matriciale $ AM $ ), è un operatore lineare su $M_{2,2}$
- L'isomorfismo che si è stabilito fra $M_{2,2}$ e $ C^4 $ consente di associare all'operatore $A$ un operatore $ A^{\prime}$ di $C^4$ in $C^4$: si determini $A^{\prime}$.

Trovo che due spazi si dicono isomorfi se tra loro esiste una corrispondenza biunivoca compatibile con le operazioni di somma e prodotto definite su di essi; quindi ad ogni elemento di uno spazio è associato un elemento dell'altro spazio; ma con quale legge?
Quello che ho fatto, ma di cui dubito molto, è scrivere una matrice di $M_{2,2}$ generica $ B = ((z_1,z_2),(z_3,z_4)) $ e $ C = ((z_5,z_6),(z_7,z_8)) $ed associarvi rispettivamente un vettore di $ C^4$ con gli stessi elementi $ D = ((z_1),(z_2),(z_3),(z_4)) $ e $ E = ((z_5),(z_6),(z_7),(z_8)) $; quindi si verifica la corrispondenza $ aB + bC = G \leftrightarrow H = aD + bE $ con $a, b in C$ .
Per il secondo punto ho verificato che $ f(x+y)=f(x)+f(y)$ e $f(ax)=af(x) $ quindi $ f(M_1 + M_2)=A(M_1 + M_2)$ e $ A(aM) = a(AM)$
Per quanto riguarda l'ultimo seguendo la logica dovrebbe essere $ F = ((2-i),(-i),(1),(2)) $.
Sicuramente non può essere così semplice. Grazie.