Isomorfismo tra algebre di Lie

[PandaPanda1]

Salve devo dimostrare che l'algebra so(2,1) e l'algebra sl(2,R) sono isomorfe. Prima di tutto ho ricavato i generatori dell'algebre e da essi ho ricavato le regole di commutazione, se le regole di commutazione fossero uguali so che le algebre sono isomorfe e avrei finito, purtroppo le regole di commutazione sono diverse e quindi non posso concludere niente, quindi ho provato ha costruire esplicitamente una mappa che sia biunivoca e che conservi l'operazione di parentesi di Lie ma anche qui non riesco a concludere nulla. Mi chiedevo se ci sono altre tecniche che posso sfruttare.
Vi ringrazio in anticipo

[j18eos]

Mi ricordi la definizione di \(\mathfrak{so}(2,1)\)...

[PandaPanda1]

"j18eos":Mi ricordi la definizione di \(\mathfrak{so}(2,1)\)...

so(2,1) è l'algebra del gruppo formato dalle matrici 3x3 reali, con determinante 1 e tali che \(A^{t}=gA^{-1}g^{-1} \) dove g è la matrice \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{pmatrix}
Facendo i conti l'algebra è generata da:
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}

[j18eos]

...ma quelle non sono matrici invertibili

[PandaPanda1]

"j18eos":...ma quelle non sono matrici invertibili

Non capisco quale sia il problema, quelle matrici sono le generatrici dell'algebra e di questo sono sicuro, il mio problema è che non riesco a mostrare che è isomorfa all'algebra sl(2,R) che è generata da:
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix}

Il mio problema principale è che non riesco a trovare una mappa che rispetti l'operazione di parentesi di Lie, ovvero una mappa:
$$
\psi: sl(2,R) \rightarrow so(2,1)
$$
tale che
$$
\psi([x,y])=[\psi(x),\psi(y)]
$$

[solaàl]

"j18eos":...ma quelle non sono matrici invertibili

L'algebra di Lie di un gruppo di Lie non deve contenere matrici invertibili (molto raramente, direi mai, lo farà, perché è uno spazio vettoriale)...

[j18eos]

Scusatemi, ho confuso il gruppo di Lie con la sua relativa algebra

Provato a costruire il generico isomorfismo di spazi vettoriali, e imporre che sia un isomorfismo di algebre di Lie?

[PandaPanda1]

"j18eos":Scusatemi, ho confuso il gruppo di Lie con la sua relativa algebra

Provato a costruire il generico isomorfismo di spazi vettoriali, e imporre che sia un isomorfismo di algebre di Lie?

Sì ho provato ma alla fine mi esce un sistema con soluzione banale e quindi trovo che l'isomorfismo che rispetta queste condizioni è quello che associa ad ogni matrice la matrice nulla

[j18eos]

Credo che ci sia un errore nei calcoli... puoi postarli?

Altrimenti potrei suggerirti un'altra possibilità, di cui non sono sicuro!

[PandaPanda1]

"j18eos":Credo che ci sia un errore nei calcoli... puoi postarli?

Ho preso una base di $sl(2,R)$:

$$
T_1= \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
$$

$$
T_2= \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
$$

$$
T_3= \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
$$

e definendo:
$$
\psi(T_1)=\begin{pmatrix}
0 & x_1 & x_2\\
-x_1 & 0 & x_3\\
x_2 & x_3 & 0
\end{pmatrix}
$$
$$
\psi(T_2)=\begin{pmatrix}
0 & y_1 & y_2\\
-y_1 & 0 & y_3\\
y_2 & y_3 & 0
\end{pmatrix}
$$
$$
\psi(T_3)=\begin{pmatrix}
0 & z_1 & z_2\\
-z_1 & 0 & z_3\\
z_2 & z_3 & 0
\end{pmatrix}
$$

ho imposto che rispettasse l'operazione di parentesi di Lie ed ho ottenuto:

$$
2\begin{pmatrix}
0 & y_1 & y_2\\
-y_1 & 0 & y_3\\
y_2 & y_3 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & x_2y_3-x_3y_2 & x_1y_3-x_3y_1\\
x_3y_2-x_2y_3 & 0 & -x_1y_3+x_3y_1\\
-x_3y_2+x_2y_3 & x_2y_1-x_1y_2 & 0
\end{pmatrix}
$$
E per le altre matrici ho ottenuto delle condizioni analoghe e quello che ne risulta è un sistema con soluzione banale

[PandaPanda1]

Inoltre avevo pensato di mostrare che i due gruppi sono localmente isomorfi cosa che basta a dimostrare l'isomorfismo tra le algebre il problema è che trovare la generica matrice di SO(2,1) è alquanto problematico visto che ci si ritrova con un sistema che richiede moltissimi calcoli

[j18eos]

Questa è una bella via d'uscita