Isomorfismo, Ker e Im
Giorno a tutti quanti.
Sto facendo questo esercizio:
Sia $f_k: R3→ R3$, così definita: $f_k (x_1,x_2,x_3)=((k+2) x_1, 7 x_1+2x_2+4x_3, -3x_1+x_2-x_3) $
i) Verificare per quali valori di k tale endomorfismo è un isomorfismo.
ii) Nel caso in cui k = -2 determinare nucleo ed immagine di f_-2$
Allora
la matrice associata è $ ((k+2,7,-3),(0,2,1),(0,4,-1))$ che ha determinate diverso da zero e quindi isomorfo per ogni k diverso da -2.
Se metto k = -2 la matrice diventa $ ((0,7,-3),(0,2,1),(0,4,-1))$
Ora il ker è il singleton del vettore nullo (0,0,0) perhè risolvendo il sistema considerando il minore $|A^23_23|$ le soluzioni sono
$ x_1=x_2=x_3=0$, giusto?
Poi visto che di solito quando trovo l'imf uso le colonne( linearmente indipendenti) che individuano il minore con det diverso da zero nel calcolo del ker e le moltiplico per\alpha e \beta,
quindi l'$imf_-2$ è tutta f_k?
P.s non mi sono mai trovato con una colonna tutta con gli zeri xd.
Sto facendo questo esercizio:
Sia $f_k: R3→ R3$, così definita: $f_k (x_1,x_2,x_3)=((k+2) x_1, 7 x_1+2x_2+4x_3, -3x_1+x_2-x_3) $
i) Verificare per quali valori di k tale endomorfismo è un isomorfismo.
ii) Nel caso in cui k = -2 determinare nucleo ed immagine di f_-2$
Allora
la matrice associata è $ ((k+2,7,-3),(0,2,1),(0,4,-1))$ che ha determinate diverso da zero e quindi isomorfo per ogni k diverso da -2.
Se metto k = -2 la matrice diventa $ ((0,7,-3),(0,2,1),(0,4,-1))$
Ora il ker è il singleton del vettore nullo (0,0,0) perhè risolvendo il sistema considerando il minore $|A^23_23|$ le soluzioni sono
$ x_1=x_2=x_3=0$, giusto?
Poi visto che di solito quando trovo l'imf uso le colonne( linearmente indipendenti) che individuano il minore con det diverso da zero nel calcolo del ker e le moltiplico per\alpha e \beta,
quindi l'$imf_-2$ è tutta f_k?
P.s non mi sono mai trovato con una colonna tutta con gli zeri xd.
Risposte
Scusate ma visto che il det della matrice con -2 è diverso da zero, il rango è massimo, allora la dim imf è 3,quindi tutto$R^3$ e il kern è il solo vettore nullo ...giusto?
"kiblast":
Scusate ma visto che il det della matrice con -2 è diverso da zero...
Non mi sembra che per $k=-2$ il determinante della matrice sia diverso da zero.
"cirasa":
[quote="kiblast"]Scusate ma visto che il det della matrice con -2 è diverso da zero...
Non mi sembra che per $k=-2$ il determinante della matrice sia diverso da zero.[/quote]
Scusa ho preso una svista con i calcoli. Il determinante è uguale a zero.
, ora come risolvo l'esercizio?...Ora pero usando il minore formato togliendo la prima colonna e la prima riga viene
${(2x_2+3x_3=0),(4x_2-x_3=0),(x_1=0):}$
quindi $x_1,x_2,x_3=0$.. giusto=??
Non capisco da dove viene questo sistema e a cosa serve. Potresti specificarlo? 
Hai l'endomorfismo $f:RR^3\to RR^3$ tale che
$f(x_1,x_2,x_3)=(0, 7 x_1+2x_2+4x_3, -3x_1+x_2-x_3) $
(ho solo sostituito $k=-2$ nella definizione di $f_k$) e devi calcolarne immagine e nucleo: come dovresti fare?
Hai l'endomorfismo $f:RR^3\to RR^3$ tale che
$f(x_1,x_2,x_3)=(0, 7 x_1+2x_2+4x_3, -3x_1+x_2-x_3) $
(ho solo sostituito $k=-2$ nella definizione di $f_k$) e devi calcolarne immagine e nucleo: come dovresti fare?
"cirasa":
Non capisco da dove viene questo sistema e a cosa serve. Potresti specificarlo?
Hai l'endomorfismo $f:RR^3\to RR^3$ tale che
$f(x_1,x_2,x_3)=(0, 7 x_1+2x_2+4x_3, -3x_1+x_2-x_3) $
(ho solo sostituito $k=-2$ nella definizione di $f_k$) e devi calcolarne immagine e nucleo: come dovresti fare?
Scrivo la matrice associata in colonne dell'endomorfismo, trovo un minore il cui determinante sia diverso da zero e pongo un parametro alla colonna che resta fuori dal minore.
a questo punto scrivo quel sistema associato, lo risolvo e le soluzione sono formano il vettore del ker.
per l'mmagine uso le 2 colonne del minore e le moltiplico per uno scalare alfa e beta.
almeno cosi ci hanno spegato.
Scusami, ora ho poco tempo perché sto uscendo.
Domani ti dò una risposta completa.
In ogni caso, ora che controllo meglio, mi sembra che tu non abbia calcolato bene la matrice associata ad $f_k$ nel tuo primo messaggio.
Dovrebbe essere la trasposta di quella che hai scritto tu.
Se qualche altro utente non ti avrà risposto prima, domani ne parliamo con calma.
Domani ti dò una risposta completa.
In ogni caso, ora che controllo meglio, mi sembra che tu non abbia calcolato bene la matrice associata ad $f_k$ nel tuo primo messaggio.
Dovrebbe essere la trasposta di quella che hai scritto tu.
Se qualche altro utente non ti avrà risposto prima, domani ne parliamo con calma.
va bene, intanto cerco una soluzione io...bye e grazie comunque
Allora la matrice era questa ( si avevo sbagliato) $ ((k+2,0,0),(7,2,4),(-3,1,-1))$
che ridota a scalini mi da che $det ne 0 $ per ogni $ k ne-2 $infatti la matrice è
$ ((3,-1,1),(0,13,5),(0,k+2,-k-2))$.
Ora mettendo k = -2 la matrice è $ ((3,-1,1),(0,13,5),(0,0,0))$. che ha determinante uguale a zero.
Ora usando il minore formato dalla 23 riga e 23colonna ho
${(-x_2+x_3=3t),(x_1=0),(13x_2+5x_3=0):}$
le cui soluzioni sono $x_1 =0 ,x_2= -5/6t,x_3=13/6t$
quindi il ker è ${(0,-5/6t,13/6) | t in RR}$
e l'imf di f è ${\alpha(-1,13,0),\beta(1,5,0)}$
almeno cosi dovrebbe essere.
che ridota a scalini mi da che $det ne 0 $ per ogni $ k ne-2 $infatti la matrice è
$ ((3,-1,1),(0,13,5),(0,k+2,-k-2))$.
Ora mettendo k = -2 la matrice è $ ((3,-1,1),(0,13,5),(0,0,0))$. che ha determinante uguale a zero.
Ora usando il minore formato dalla 23 riga e 23colonna ho
${(-x_2+x_3=3t),(x_1=0),(13x_2+5x_3=0):}$
le cui soluzioni sono $x_1 =0 ,x_2= -5/6t,x_3=13/6t$
quindi il ker è ${(0,-5/6t,13/6) | t in RR}$
e l'imf di f è ${\alpha(-1,13,0),\beta(1,5,0)}$
almeno cosi dovrebbe essere.
credo che l'elemento (3,3) della tua matrice iniziale dovrebbe essere -1.
"minomic":
credo che l'elemento (3,3) della tua matrice iniziale dovrebbe essere -1.
Confermo
sisi giusto scusa...aggiustato...
Cirasa allora secondo te è giusto?...
Cirasa allora secondo te è giusto?...
Non capisco il conto che fai per il calcolo del $ker$ nel caso $k=-2$.
In questo caso $f(x_1,x_2,x_3)=(0, 7 x_1+2x_2+4x_3, -3x_1+x_2-x_3) $
Gli elementi $(x_1,x_2,x_3)$ del nucleo sono quelli per cui $f(x_1,x_2,x_3)=(0,0,0)$.
Quindi devi risolvere il sistema
${(7 x_1+2x_2+4x_3=0), (-3x_1+x_2-x_3=0):}$
In questo caso $f(x_1,x_2,x_3)=(0, 7 x_1+2x_2+4x_3, -3x_1+x_2-x_3) $
Gli elementi $(x_1,x_2,x_3)$ del nucleo sono quelli per cui $f(x_1,x_2,x_3)=(0,0,0)$.
Quindi devi risolvere il sistema
${(7 x_1+2x_2+4x_3=0), (-3x_1+x_2-x_3=0):}$
ok ora ho trovato che $x_1= -9/17t, x_2=-10/34t ,x_3=t$ ho trovato il ker,
e l'inf?
e l'inf?
Il mio computer mi dice che hai sbagliato i calcoli...ritenta sarai più fortunato! 
Per il calcolo dell'immagine di $f$, va bene quello che hai detto prima (anche se non ti sei espresso benissimo
):
Detto meglio: prendi il minore di ordine massimo nella matrice dell'applicazione lineare rispetto alla base canonica (non quella ridotta a gradini!). L'immagine di $f$ è generata dalle colonne corrispondenti.
Per il calcolo dell'immagine di $f$, va bene quello che hai detto prima (anche se non ti sei espresso benissimo
):"kiblast":
Poi visto che di solito quando trovo l'imf uso le colonne( linearmente indipendenti) che individuano il minore con det diverso da zero nel calcolo del ker e le moltiplico per\alpha e \beta,
Detto meglio: prendi il minore di ordine massimo nella matrice dell'applicazione lineare rispetto alla base canonica (non quella ridotta a gradini!). L'immagine di $f$ è generata dalle colonne corrispondenti.
QUindi il calcolo del ker si fa cosi
Eh, già. Si fa così, perché è la definizione di $ker$
Comunque se non ho sbagliato i conti $ker f_{-2}=<(-6/(13),-5/(13),1)>$.
Comunque se non ho sbagliato i conti $ker f_{-2}=<(-6/(13),-5/(13),1)>$.
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