Isomorfismo fra uno spazio vettoriale ed il suo duale
Sia $V$ uno spazio vettoriale e $W$ il suo duale algebrico. So che posso costruire una base del duale in questo modo. Dato $v \in V$, considerando la base $\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}$ di $V$ scrivo $v=v_{1}x_{1}+...v_{n}x_{n}$. Considerando le applicazioni $\varphi_{n} $di $W$ tali che $\phi_{n} (v)=x_{n}$ ottengo con qualche passaggio, per $\varphi \in W$, $\varphi=\varphi_{1}y_{1}+...+\varphi_{n}y_{n}$. Il libro parla di isomorfismo fra $\mathbb{K}^{n}$, $V$ e $W$
\[
V \leftrightarrow \mathbb{K}^{n} \leftrightarrow W \Leftrightarrow V \leftrightarrow W
\]
Se il primo isomorfismo è chiaro perché ad un elemento di $\mathbb{K}^{n}$ (le coordinate rispetto ad una certa base) corrisponde un elemento di $V$, e viceversa, non è altrettanto chiaro il collegamentofra $\mathbb{K}^{n}$ e $W$, conseguentemente la composizione degli isomorfismi precedenti.
\[
V \leftrightarrow \mathbb{K}^{n} \leftrightarrow W \Leftrightarrow V \leftrightarrow W
\]
Se il primo isomorfismo è chiaro perché ad un elemento di $\mathbb{K}^{n}$ (le coordinate rispetto ad una certa base) corrisponde un elemento di $V$, e viceversa, non è altrettanto chiaro il collegamentofra $\mathbb{K}^{n}$ e $W$, conseguentemente la composizione degli isomorfismi precedenti.
Risposte
Che sciocco. E' la n-pla $(y_1,y_2,...,y_n\)\in \mathbb{K}^{n}$.
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