Isomorfismo e applicazione lineare
Ciao ragazzi, non ho passato l'esame di geometria B e quindi sono di nuovo qui a cercare di saltarci fuori e di capire.
Ho difficoltà nel seguente problema:
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n, U e W due suoi sottospazi non banali, tali che V è somma diretta di U e W.
Sia g:V--->V così definita: se v=u+w, allora g(v)=u-w.
a) Dimostrare che g è un applicazione lineare.
b) g è un isomorfismo? Giustificare la risposta
c) se V= R^3, U=L((2,0,1)) e W={(x,y,z)/x+y-z=0}, calcolare g(4,0,2) e g(1,1,1).
Le soluzioni che mi vengono date sono queste:
a) e b) Scelgo una base B di V formata dall'unione di due basi B' di U e B'' di W; risulta MB(g) = $ ( ( I , O ),( O , I ) ) $, come si verifica facilmente. Dunque g è un applicazione lineare ed è un isomorfismo, perché la matrice è invertibile.
c) g(4,0,2) = (4,0,2) poiché $ (4,0,2) in U $ e g(1,1,1) = (3,-1,1), che ottengo così: scelgo v1=(2,0,1) base di U e v2=(1,0,1),
v3=(1,-1,0) base di W, esprimo (1,1,1) in questa base, applico la matrice e ritrasformo in base canonica il risulato.
Ragazzi spiegatemi perpiacere queste cose perché non riesco proprio a capirle. Grazie a tutti in anticipo!!!!
Ciao e grazie..
Ho difficoltà nel seguente problema:
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n, U e W due suoi sottospazi non banali, tali che V è somma diretta di U e W.
Sia g:V--->V così definita: se v=u+w, allora g(v)=u-w.
a) Dimostrare che g è un applicazione lineare.
b) g è un isomorfismo? Giustificare la risposta
c) se V= R^3, U=L((2,0,1)) e W={(x,y,z)/x+y-z=0}, calcolare g(4,0,2) e g(1,1,1).
Le soluzioni che mi vengono date sono queste:
a) e b) Scelgo una base B di V formata dall'unione di due basi B' di U e B'' di W; risulta MB(g) = $ ( ( I , O ),( O , I ) ) $, come si verifica facilmente. Dunque g è un applicazione lineare ed è un isomorfismo, perché la matrice è invertibile.
c) g(4,0,2) = (4,0,2) poiché $ (4,0,2) in U $ e g(1,1,1) = (3,-1,1), che ottengo così: scelgo v1=(2,0,1) base di U e v2=(1,0,1),
v3=(1,-1,0) base di W, esprimo (1,1,1) in questa base, applico la matrice e ritrasformo in base canonica il risulato.
Ragazzi spiegatemi perpiacere queste cose perché non riesco proprio a capirle. Grazie a tutti in anticipo!!!!
Ciao e grazie..
Risposte
Ragazzi rispondete!! Ho bisogno del vostro aiuto!!
Questa è la mia interpretazione del quesito.
a) Siano \(\displaystyle v,v_1,v_2 \) tre generici vettori di V. Per ipotesi esistono (e sono unici ) i vettori \(\displaystyle u,u_1,u_2 \) di U e i vettori \(\displaystyle w,w_1,w_2 \) di W tali che risulti :
A) \(\displaystyle v=u+w,v_1=u_1+w_1,v_2=u_2+w_2 \)
Inoltre, sempre per ipotesi, è :
B) \(\displaystyle g(v)=g(u+w)=u-w,g(v_1)=g(u_1+w_1)=u_1-w_1,g(v_2)=g(u_2+w_2)=u_2-w_2 \)
Ciò posto, detti \(\displaystyle \lambda,\mu \) due generici scalari, per le (A) risulta :
\(\displaystyle g(\lambda v_1 +\mu v_2)=g([\lambda u_1+\mu u_2]+[\lambda w_1+\mu w_2 ])\)
Ora \(\displaystyle \lambda u_1+\mu u_2 \text{ e } \lambda w_1+\mu w_2\) sono due generici vettori di U e W rispettivamente. Pertanto, per la condizione \(\displaystyle g(u+w)=u-w, \) avremo :
\(\displaystyle g(\lambda v_1 +\mu v_2)=[\lambda u_1+\mu u_2]-[\lambda w_1+\mu w_2 ]=\lambda(u_1-w_1)+\mu(u_2-w_2)\)
In base alle (B) avremo in definitiva :
\(\displaystyle g(\lambda v_1 +\mu v_2)=\lambda g(v_1)+\mu g(v_2)\)
e questo prova che g è un'applicazione lineare.
b) Per dimostrare che g è un isomorfismo seguo una strada diversa da quella indicata nella risposta ( anche perché stà faccenda di MB(g) mi riesce criptica ....). Ricordo che g risulta un isomorfismo solo e solo se il Ker si riduce al solo vettore nullo ( che indico con O). Ora, essendo \(\displaystyle g(v)=u-w \), risulta \(\displaystyle g(v)=O \) solo e solo se \(\displaystyle u=w \). Ma, per l'ipotesi della somma diretta, l'unico vettore comune a U e W è il vettore nullo e quindi non può che essere
\(\displaystyle g(v)=O \) solo e solo se risulta \(\displaystyle v=O \) e questo prova che g è un isomorfismo.
c) Come già indicato, è :
\(\displaystyle U=[(2,0,1)],W=[(1,-1,0),(1,0,1)]\)
Poniamo :
\(\displaystyle (4,0,2)=(4,0,2)+(0,0,0) \)
dove \(\displaystyle (4,0,2) \text{ e }(0,0,0) \) sono rispettivamente un vettore di U ed uno di W
Passando alle immagini si ha :
\(\displaystyle g(4,0,2)=g((4,0,2)+(0,0,0))=(4,0,2)-(0,0,0)= (4,0,2)\)
Ancora poniamo :
\(\displaystyle (1,1,1)=p(2,0,1)+q(1,-1,0)+r(1,0,1) \)
Facendo i soliti calcoli risulta che :
\(\displaystyle p=1,q=-1,r=0 \) e dunque :
\(\displaystyle (1,1,1)=(2,0,1)-(1,-1,0)=(2,0,1)+ (-1,1,0)\)
Ora \(\displaystyle (2,0,1) \text{ e } (-1,1,0)\) sono vettori il primo di U ed il secondo di W e quindi passando alle immagini ed applicando la condizione \(\displaystyle g(u+w)=u-w \) avremo che :
\(\displaystyle g(1,1,1)=g((2,0,1)+(-1,1,0))=(2,0,1)- (-1,1,0)=(3,-1,1)\)
a) Siano \(\displaystyle v,v_1,v_2 \) tre generici vettori di V. Per ipotesi esistono (e sono unici ) i vettori \(\displaystyle u,u_1,u_2 \) di U e i vettori \(\displaystyle w,w_1,w_2 \) di W tali che risulti :
A) \(\displaystyle v=u+w,v_1=u_1+w_1,v_2=u_2+w_2 \)
Inoltre, sempre per ipotesi, è :
B) \(\displaystyle g(v)=g(u+w)=u-w,g(v_1)=g(u_1+w_1)=u_1-w_1,g(v_2)=g(u_2+w_2)=u_2-w_2 \)
Ciò posto, detti \(\displaystyle \lambda,\mu \) due generici scalari, per le (A) risulta :
\(\displaystyle g(\lambda v_1 +\mu v_2)=g([\lambda u_1+\mu u_2]+[\lambda w_1+\mu w_2 ])\)
Ora \(\displaystyle \lambda u_1+\mu u_2 \text{ e } \lambda w_1+\mu w_2\) sono due generici vettori di U e W rispettivamente. Pertanto, per la condizione \(\displaystyle g(u+w)=u-w, \) avremo :
\(\displaystyle g(\lambda v_1 +\mu v_2)=[\lambda u_1+\mu u_2]-[\lambda w_1+\mu w_2 ]=\lambda(u_1-w_1)+\mu(u_2-w_2)\)
In base alle (B) avremo in definitiva :
\(\displaystyle g(\lambda v_1 +\mu v_2)=\lambda g(v_1)+\mu g(v_2)\)
e questo prova che g è un'applicazione lineare.
b) Per dimostrare che g è un isomorfismo seguo una strada diversa da quella indicata nella risposta ( anche perché stà faccenda di MB(g) mi riesce criptica ....). Ricordo che g risulta un isomorfismo solo e solo se il Ker si riduce al solo vettore nullo ( che indico con O). Ora, essendo \(\displaystyle g(v)=u-w \), risulta \(\displaystyle g(v)=O \) solo e solo se \(\displaystyle u=w \). Ma, per l'ipotesi della somma diretta, l'unico vettore comune a U e W è il vettore nullo e quindi non può che essere
\(\displaystyle g(v)=O \) solo e solo se risulta \(\displaystyle v=O \) e questo prova che g è un isomorfismo.
c) Come già indicato, è :
\(\displaystyle U=[(2,0,1)],W=[(1,-1,0),(1,0,1)]\)
Poniamo :
\(\displaystyle (4,0,2)=(4,0,2)+(0,0,0) \)
dove \(\displaystyle (4,0,2) \text{ e }(0,0,0) \) sono rispettivamente un vettore di U ed uno di W
Passando alle immagini si ha :
\(\displaystyle g(4,0,2)=g((4,0,2)+(0,0,0))=(4,0,2)-(0,0,0)= (4,0,2)\)
Ancora poniamo :
\(\displaystyle (1,1,1)=p(2,0,1)+q(1,-1,0)+r(1,0,1) \)
Facendo i soliti calcoli risulta che :
\(\displaystyle p=1,q=-1,r=0 \) e dunque :
\(\displaystyle (1,1,1)=(2,0,1)-(1,-1,0)=(2,0,1)+ (-1,1,0)\)
Ora \(\displaystyle (2,0,1) \text{ e } (-1,1,0)\) sono vettori il primo di U ed il secondo di W e quindi passando alle immagini ed applicando la condizione \(\displaystyle g(u+w)=u-w \) avremo che :
\(\displaystyle g(1,1,1)=g((2,0,1)+(-1,1,0))=(2,0,1)- (-1,1,0)=(3,-1,1)\)
Grazie Vittorino70 per la ottima soluzione e inoltre è la prima comprensibile che trovo!! Non riesco a capire il punto in cui sostieni che (0,0,0) è un vettore di W...Non capisco il perché....
Inoltre non riesco a capire il seguente passaggio:
(1,1,1)=p(2,0,1)+q(1,−1,0)+r(1,0,1)
Facendo i soliti calcoli risulta che :
p=1,q=−1,r=0
Come hai fatto a trovare p,q e r??
Scusa se sono duro di testa....
Grazie infinite ancora!!!
Inoltre non riesco a capire il seguente passaggio:
(1,1,1)=p(2,0,1)+q(1,−1,0)+r(1,0,1)
Facendo i soliti calcoli risulta che :
p=1,q=−1,r=0
Come hai fatto a trovare p,q e r??
Scusa se sono duro di testa....
Grazie infinite ancora!!!
Il vettore nullo deve necessariamente appartenere a qualunque sottoinsieme non vuoto di uno spazio vettoriale e quindi anche al sottospazio W. Per la seconda questione hai :
\(\displaystyle (1,1,1)=(2p,0,p)+(q,-q,0)+(r,0,r) \)
Cioé :
\(\displaystyle (1,1,1)=(2p+q+r,-q,p+r)\)
Eguagliando le componenti una per una si ha il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases} 2p+q+r=1\\-q=1\\p+r=1 \end{cases}\)
E da qui si ricava appunto :
\(\displaystyle p=1,q=-1,r=0 \)
\(\displaystyle (1,1,1)=(2p,0,p)+(q,-q,0)+(r,0,r) \)
Cioé :
\(\displaystyle (1,1,1)=(2p+q+r,-q,p+r)\)
Eguagliando le componenti una per una si ha il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases} 2p+q+r=1\\-q=1\\p+r=1 \end{cases}\)
E da qui si ricava appunto :
\(\displaystyle p=1,q=-1,r=0 \)
Grazie 1000 volte!!
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