Isomorfismo coordinato esercizio!
Salve ho un esercizio teorico che non riesco a risolvere...
1) Sia B = {\(\displaystyle \mathbf{u}_{\scriptscriptstyle 1}, \mathbf{u}_{\scriptscriptstyle 2}, ..., \mathbf{u}_{\scriptscriptstyle n} \)} una base fissata di uno spazio vettoriale \(\displaystyle \mathbf{V}_{\scriptscriptstyle n} \)\(\displaystyle \mathbf{(K)}_{\scriptscriptstyle} \) di dimensioni \(\displaystyle \mathbf{n}_{\scriptscriptstyle} \) su in campo \(\displaystyle \mathbf{K}_{\scriptscriptstyle} \). Definire l'isomorfismo coordinato \(\displaystyle \mathbf{c}_{\scriptscriptstyle B} \) di \(\displaystyle \mathbf{V}_{\scriptscriptstyle n} \)\(\displaystyle \mathbf{(K)}_{\scriptscriptstyle} \) associato alla base B, dimostrando che è un'applicazione biettiva.
Non ho trovato nessuna definizione di isomorfismo coordinato sul mio libro. Potreste aiutarmi?
Grazie Marco
$ in $
1) Sia B = {\(\displaystyle \mathbf{u}_{\scriptscriptstyle 1}, \mathbf{u}_{\scriptscriptstyle 2}, ..., \mathbf{u}_{\scriptscriptstyle n} \)} una base fissata di uno spazio vettoriale \(\displaystyle \mathbf{V}_{\scriptscriptstyle n} \)\(\displaystyle \mathbf{(K)}_{\scriptscriptstyle} \) di dimensioni \(\displaystyle \mathbf{n}_{\scriptscriptstyle} \) su in campo \(\displaystyle \mathbf{K}_{\scriptscriptstyle} \). Definire l'isomorfismo coordinato \(\displaystyle \mathbf{c}_{\scriptscriptstyle B} \) di \(\displaystyle \mathbf{V}_{\scriptscriptstyle n} \)\(\displaystyle \mathbf{(K)}_{\scriptscriptstyle} \) associato alla base B, dimostrando che è un'applicazione biettiva.
Non ho trovato nessuna definizione di isomorfismo coordinato sul mio libro. Potreste aiutarmi?
Grazie Marco
$ in $
Risposte
dato il generico vettore $v$ di $V_n$ si ha che $v=a_1u_1+a_2u_2+...+a_n u_n$
l'isomorfismo coordinato è l'applicazione $f :V_n rarr K^n$ tale che $f(v)=(a_1,a_2,...,a_n)$
l'isomorfismo coordinato è l'applicazione $f :V_n rarr K^n$ tale che $f(v)=(a_1,a_2,...,a_n)$
Ciao, provo ad aggiungere qualcosa:
Sia $vec(v) in V$, sia $B={vec(u_1), ... , vec(u_n)}$ una base di $V$, allora ogni $vec(v) in V$ si può sviluppare rispetto alla
base come: $vec(v)=c_1vec(u_1)+...+c_nvec(u_n)$ con $(c_1, ... , c_n) in K^n$
L'applicazione delle coordinate, è definita come: $f:vec(v) in V -> f(vec(v))=(c_1,...,c_n) in K^n$
Per dimostrare che $f$ è un'isomorfismo, si deve dimostrare che:
1. $f$ è lineare
2. $f$ è iniettiva
3. $f$ è suriettiva
--------------------------
Dimostriamo la linearità
$AA alpha_1, alpha_2 in K$ e $AA vec(v_1), vec(v_2) in V$ si ha che:
$f(alpha_1vec(v_1)+alpha_2vec(v_2))=alpha_1f(vec(v_1))+alpha_2f(vec(v_2))$
Nel nostro caso:
Scelti arbitrariamente $vec(v_1), vec(v_2) in V$, allora:
$vec(v_1)=a_1vec(u_1)+...+a_nvec(u_n) -> f(vec(v_1))=(a_1, ... , a_n)$
$vec(v_2)=b_1vec(u_1)+...+b_nvec(u_n) -> f(vec(v_2))=(b_1, ... , b_n)$
Scelti arbitrariamente $alpha_1, alpha_2 in K$, allora:
$alpha_1vec(v_1)+alpha_2vec(v_2) = alpha_1(a_1vec(u_1)+...+a_nvec(u_n)) + alpha_2(b_1vec(u_1)+...+b_nvec(u_n)) =(alpha_1 a_1 + alpha_2 b_1) vec(u_1) + ... + (alpha_1 a_n + alpha_2 b_n) vec(u_n) = c_1 vec(u_1) + ... + c_n vec(u_n)$
Quindi:
$f(alpha_1vec(v_1)+alpha_2vec(v_2)) = (c_1, ..., c_n) = alpha_1(a_1, ... , a_n) + alpha_2 (b_1, ..., b_n) = alpha_1 f(vec(v_1)) + alpha_2 f(vec(v_2)) $
$f$ è lineare.
------------------
Dimostriamo l'iniettività
Ricordiamo che si chiama Nucleo (Kernel) dell'applicazione lineare $f:V->W$ l'insieme $Ker(f) = {vec(v) in V : f(vec(v))=vec(0) in W}$
cioè l'insieme dei vettori di $V$, che hanno come immagine il vettore nullo di $W$.
Si dimostra che:
un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se $Ker(f)={vec(0) in V}$, cioè l'unico vettore di $V$ che ha immagine tramite $f$ il vettore nullo di $W$, è il vettore nullo di $V$.
Nel nostro caso, poiché $f$ associa ad ogni vettore di $V$, le coordinate rispetto alla base $B$ scelta in $V$, allora per l'indipendenza lineare dei vettori della base, l'unico vettore di $V$ che ha come n-pla di coordinate la n-pla di tutti zeri, è il vettore nullo di $V$. Quindi è vero che $Ker(f) = {vec(0) in V}$.
$f$ è iniettiva.
------------------
Dimostriamo la suriettività
Ricordiamo che si chiama Immagine dell'applicazione lineare $f:V->W$ l'insieme $Im(f) = {vec(w) in W : EEvec(v) in V, f(vec(v)) = vec(w)}$
Quindi $Im(f) sube W$, e perciò $f$ è suriettiva quando risulta $Im(f) = W$ (cioè tutti i vettori di $W$, appartengono all'immagine di $f$, e quindi ogni vettore di $W$ ha controimmagine tramite $f$ in $V$)
Si dimostra che:
$Im(f) = W hArr dim(Im(f))=dim(W)$
Inoltre ricordiamo il "teorema della Nullità più rango":
$dim(V) = dim(Ker(f)) + dim (Im(f))$
Nel nostro caso:
$dim(V)=n$
$dim(Ker(f)) = 0$
$ dim(Im(f))=dim(V) - dim(Ker(f)) = n $
Poiché $dim(Im(f))=dim(K^n)=n$ allora $f$ è suriettiva.
----------------
Essendo $f$ lineare, iniettiva e suriettiva, allora è un isomorfismo.
ps. spero di non aver scritto qualche sciocchezza, soprattutto per quanto riguarda la suriettività.
Ciao, Shun.
Sia $vec(v) in V$, sia $B={vec(u_1), ... , vec(u_n)}$ una base di $V$, allora ogni $vec(v) in V$ si può sviluppare rispetto alla
base come: $vec(v)=c_1vec(u_1)+...+c_nvec(u_n)$ con $(c_1, ... , c_n) in K^n$
L'applicazione delle coordinate, è definita come: $f:vec(v) in V -> f(vec(v))=(c_1,...,c_n) in K^n$
Per dimostrare che $f$ è un'isomorfismo, si deve dimostrare che:
1. $f$ è lineare
2. $f$ è iniettiva
3. $f$ è suriettiva
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Dimostriamo la linearità
$AA alpha_1, alpha_2 in K$ e $AA vec(v_1), vec(v_2) in V$ si ha che:
$f(alpha_1vec(v_1)+alpha_2vec(v_2))=alpha_1f(vec(v_1))+alpha_2f(vec(v_2))$
Nel nostro caso:
Scelti arbitrariamente $vec(v_1), vec(v_2) in V$, allora:
$vec(v_1)=a_1vec(u_1)+...+a_nvec(u_n) -> f(vec(v_1))=(a_1, ... , a_n)$
$vec(v_2)=b_1vec(u_1)+...+b_nvec(u_n) -> f(vec(v_2))=(b_1, ... , b_n)$
Scelti arbitrariamente $alpha_1, alpha_2 in K$, allora:
$alpha_1vec(v_1)+alpha_2vec(v_2) = alpha_1(a_1vec(u_1)+...+a_nvec(u_n)) + alpha_2(b_1vec(u_1)+...+b_nvec(u_n)) =(alpha_1 a_1 + alpha_2 b_1) vec(u_1) + ... + (alpha_1 a_n + alpha_2 b_n) vec(u_n) = c_1 vec(u_1) + ... + c_n vec(u_n)$
Quindi:
$f(alpha_1vec(v_1)+alpha_2vec(v_2)) = (c_1, ..., c_n) = alpha_1(a_1, ... , a_n) + alpha_2 (b_1, ..., b_n) = alpha_1 f(vec(v_1)) + alpha_2 f(vec(v_2)) $
$f$ è lineare.
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Dimostriamo l'iniettività
Ricordiamo che si chiama Nucleo (Kernel) dell'applicazione lineare $f:V->W$ l'insieme $Ker(f) = {vec(v) in V : f(vec(v))=vec(0) in W}$
cioè l'insieme dei vettori di $V$, che hanno come immagine il vettore nullo di $W$.
Si dimostra che:
un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se $Ker(f)={vec(0) in V}$, cioè l'unico vettore di $V$ che ha immagine tramite $f$ il vettore nullo di $W$, è il vettore nullo di $V$.
Nel nostro caso, poiché $f$ associa ad ogni vettore di $V$, le coordinate rispetto alla base $B$ scelta in $V$, allora per l'indipendenza lineare dei vettori della base, l'unico vettore di $V$ che ha come n-pla di coordinate la n-pla di tutti zeri, è il vettore nullo di $V$. Quindi è vero che $Ker(f) = {vec(0) in V}$.
$f$ è iniettiva.
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Dimostriamo la suriettività
Ricordiamo che si chiama Immagine dell'applicazione lineare $f:V->W$ l'insieme $Im(f) = {vec(w) in W : EEvec(v) in V, f(vec(v)) = vec(w)}$
Quindi $Im(f) sube W$, e perciò $f$ è suriettiva quando risulta $Im(f) = W$ (cioè tutti i vettori di $W$, appartengono all'immagine di $f$, e quindi ogni vettore di $W$ ha controimmagine tramite $f$ in $V$)
Si dimostra che:
$Im(f) = W hArr dim(Im(f))=dim(W)$
Inoltre ricordiamo il "teorema della Nullità più rango":
$dim(V) = dim(Ker(f)) + dim (Im(f))$
Nel nostro caso:
$dim(V)=n$
$dim(Ker(f)) = 0$
$ dim(Im(f))=dim(V) - dim(Ker(f)) = n $
Poiché $dim(Im(f))=dim(K^n)=n$ allora $f$ è suriettiva.
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Essendo $f$ lineare, iniettiva e suriettiva, allora è un isomorfismo.
ps. spero di non aver scritto qualche sciocchezza, soprattutto per quanto riguarda la suriettività.
Ciao, Shun.
Grazie mille per la risposta 
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