Isomorfismo canonico tra due spazi vettoriali

[NightKnight1]

Sia K un campo e V e W due spazi vettoriali su K di dimensione finita.
Sia Hom(W,V) lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari da W a V. Hom(W,V):={f:W->V lineare}
Sia Hom(V,W)* lo spazio vettoriale duale di Hom(V,W); cioè Hom(V,W)*:=Hom(Hom(V,W) , K).

Dimostrare che esiste un isomorfismo naturale (cioè che non dipende da nessuna scelta di base) tra Hom(V,W)* e Hom (W,V).

[NightKnight1]

Nessuna idea???

[fu^2]

"NightKnight":Sia K un campo e V e W due spazi vettoriali su K di dimensione finita.
Sia Hom(W,V) lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari da W a V. Hom(W,V):={f:W->V lineare}
Sia Hom(V,W)* lo spazio vettoriale duale di Hom(V,W); cioè Hom(V,W)*:=Hom(Hom(V,W) , K).

Dimostrare che esiste un isomorfismo naturale (cioè che non dipende da nessuna scelta di base) tra Hom(V,W)* e Hom (W,V).

ricorda: l'applicazione di $V$ in $V^*$ definita da $v->L_v$ è un isomorfismo. con $L_v$ il tuo funzionale rispetto al prodotto vettoriale definito su V.

ricorda anche che l'$Hom(V,W)$ è uno spazio vettoriale con la base formata dagli $e_(ij)$.

cioè se dimV=d, dimW=n e se $f\in\Hom(V,W)$ allora $f=sum_(i=1)^dsum_(j=1)^na_(ij)e_(ij)$


quindi in questo caso $V=Hom(V,W)$ e quindi il tuo $L_v=L_f$ cioè al posto di avere elementi che sono dei vettori per il tuo funzionale, hai delle funzioni lineari... però penso che come logica puoi seguire la medesima.

se hai problemi richiedi, spero di non aver detto troppe fesserie

[pic2]

EDIT: quanto segue non ha senso: [$\phi: A' \to A$ che manda f in f' ove f' manda x in fx (f composto x)]

[NightKnight1]

Per fu^2: apparte che non so cosa sia il prodotto vettoriale definito su uno spazio vettoriale qualsiasi, comunque da quel che ho capito della tua soluzione tu scegli una base e io ho chiesto di trovare un isomorfismo che non dipende dalla scelta di una base, cioè un isomorfismo naturale o canonico (come quello tra uno spazio vettoriale e il suo biduale per intenderci).

Per pic: non capisco cosa sia A. Puoi esplicitare meglio i simboli che usi e spiegare esattamente gli insiemi di definizione e i codomini delle funzioni?? grazie

[fu^2]

guarda che quello che ho scritto non dipende dalla scelta delle basi...
dire che esiste una base è d'obbligo se no non ci facciamo nessuno spazio vettoriale. quello che ho scritto era per ricordare cosa sia la base dell'hom, la base non l'ho usata nel costruire l'isomorfismo... lascia pure perdere la storia sul prodotto scalare se turba

quello che usi per fare la funzione sono le ultim e due righe