Isomorfismo canonico
Salve a tutti,
mi chiedevo quale potesse essere un esempio di isomorfismo tra spazi vettoriali che fosse canonico e che non fosse il solito con lo spazio biduale. Ho pensato a questo che scrivo sotto, ma non sono sicuro che sia canonico. Vorrei una conferma o un controesempio se è possibile.
Se $V$ è uno spazio vettoriale su campo $\mathbb{K}$ di dimensione $n$. Siano $W_1$ e $W_2$ due sottospazi vettoriali di $V$ così decomposti in somma diretta ($\forall i\in{1,2}$) $W_i=U\oplus Z_i$, dove $Z_i$ a priori non coincidono.
Sia vero che $dim(W_1)=dim(W_2)\leq n$. La tesi è che $Z_1$ e $Z_2$ sono isomorfi canonicamente (?).
dim: $\forall w\in W_1 \exists! u_w \in U$ e $z\in Z_1$ tali che $w=u_w+z_1$. Ora prendo $\psi : W_1 \rightarrow W_2$ isomorfismo (che esiste poichè per ipotesi $dim(W_1)=dim(W_2)$) tale che $\psi|_U = id$ (WLOG) e $\psi|_{Z_1}:Z_1 \rightarrow Z_2$ e definisco $\varphi:=\psi|_{Z_1}$.
$\forall w \in W_1 $ allora $w=u_w + z_1$ e si ha che $\psi(w)=\psi(u_w)+ \psi(z_1) = u_w + \varphi(z_1)$.
Dunque $\varphi(z_1)=\psi(w)-u_w$, per cui posso pensare di prendere quest'ultima come definizione di $\varphi$.
Faccio vedere che è lineare:
$\forall \alpha,\beta \in \mathbb{K}, \forall w,w' \in W_1$ ho che $\alpha z_1=\alpha(w-u_w)$ e $\beta z_1' = \beta(w' - u_{w'})$. Dunque:
$\varphi(\alpha z_1 + \beta z_1')=\psi(\alpha w + \beta w') - (\alpha u_w + \beta u_{w'}) = \alpha \psi(w) + \beta \psi(w') - \alpha u_w - \beta u_{w'} = \alpha[\psi(w)-u_w] + \beta[\psi(w')-u_{w'}]=\alpha \varphi(z_1) + \beta \varphi(z_1')$.
Allora $\varphi$ è lineare.
Inoltre è iniettiva perchè $\varphi$ è restrizione di un isomorfismo. (Secondo me non serviva nemmeno dimostrare la linearità per la stessa ragione, l'ho fatta per completezza...)
A questo punto ho che $\varphi$ è un isomorfismo "privilegiato" una volta fissato un qualsiasi isomorfismo $\psi$ tra $W_1$ e $W_2$. E' proprio qui che non sono molto convinto della canonicità. Sul fatto che ho dovuto fissare uno $psi$.
Suggerimenti?
mi chiedevo quale potesse essere un esempio di isomorfismo tra spazi vettoriali che fosse canonico e che non fosse il solito con lo spazio biduale. Ho pensato a questo che scrivo sotto, ma non sono sicuro che sia canonico. Vorrei una conferma o un controesempio se è possibile.
Se $V$ è uno spazio vettoriale su campo $\mathbb{K}$ di dimensione $n$. Siano $W_1$ e $W_2$ due sottospazi vettoriali di $V$ così decomposti in somma diretta ($\forall i\in{1,2}$) $W_i=U\oplus Z_i$, dove $Z_i$ a priori non coincidono.
Sia vero che $dim(W_1)=dim(W_2)\leq n$. La tesi è che $Z_1$ e $Z_2$ sono isomorfi canonicamente (?).
dim: $\forall w\in W_1 \exists! u_w \in U$ e $z\in Z_1$ tali che $w=u_w+z_1$. Ora prendo $\psi : W_1 \rightarrow W_2$ isomorfismo (che esiste poichè per ipotesi $dim(W_1)=dim(W_2)$) tale che $\psi|_U = id$ (WLOG) e $\psi|_{Z_1}:Z_1 \rightarrow Z_2$ e definisco $\varphi:=\psi|_{Z_1}$.
$\forall w \in W_1 $ allora $w=u_w + z_1$ e si ha che $\psi(w)=\psi(u_w)+ \psi(z_1) = u_w + \varphi(z_1)$.
Dunque $\varphi(z_1)=\psi(w)-u_w$, per cui posso pensare di prendere quest'ultima come definizione di $\varphi$.
Faccio vedere che è lineare:
$\forall \alpha,\beta \in \mathbb{K}, \forall w,w' \in W_1$ ho che $\alpha z_1=\alpha(w-u_w)$ e $\beta z_1' = \beta(w' - u_{w'})$. Dunque:
$\varphi(\alpha z_1 + \beta z_1')=\psi(\alpha w + \beta w') - (\alpha u_w + \beta u_{w'}) = \alpha \psi(w) + \beta \psi(w') - \alpha u_w - \beta u_{w'} = \alpha[\psi(w)-u_w] + \beta[\psi(w')-u_{w'}]=\alpha \varphi(z_1) + \beta \varphi(z_1')$.
Allora $\varphi$ è lineare.
Inoltre è iniettiva perchè $\varphi$ è restrizione di un isomorfismo. (Secondo me non serviva nemmeno dimostrare la linearità per la stessa ragione, l'ho fatta per completezza...)
A questo punto ho che $\varphi$ è un isomorfismo "privilegiato" una volta fissato un qualsiasi isomorfismo $\psi$ tra $W_1$ e $W_2$. E' proprio qui che non sono molto convinto della canonicità. Sul fatto che ho dovuto fissare uno $psi$.
Suggerimenti?
Risposte
Il tuo dubbio e' fondato: in generale l'isomorfismo tra due spazi vettoriali della stessa dimensione non e' canonico. In effetti per definirlo devi fissare due basi e l'isomorfismo le identifica.
Un esempio potrebbe essere il seguente: dati $V,W$ spazi vettoriali, allora $V \oplus W$ e' canonicamente isomorfo a $W \oplus V$.
Piu' interessante e' $V \otimes W$ che e' canonicamente isomorfo a $W \otimes V$, o ancora meglio, aggiungendo un duale, \(V^\ast \otimes W \simeq W \otimes V^\ast\).
In particolare l'ultimo che ho scritto mostra che $Hom(V,W)$ e' canonicamente isomorfo a $Hom(W^\ast,V^\ast)$ (e il morfismo e' dato dalla trasposta se scriviamo tutto in basi, oppure dal pullback (che poi e' pur sempre una trasposta) se vogliamo scriverlo senza basi).
Ho pero' il sospetto che la parola "canonico" nasconda sempre un'azione di un gruppo e "canonico = equivariante rispetto a tale azione". In questi casi che ho scritto il gruppo sarebbe $GL(V) \times GL(W)$.
Un esempio potrebbe essere il seguente: dati $V,W$ spazi vettoriali, allora $V \oplus W$ e' canonicamente isomorfo a $W \oplus V$.
Piu' interessante e' $V \otimes W$ che e' canonicamente isomorfo a $W \otimes V$, o ancora meglio, aggiungendo un duale, \(V^\ast \otimes W \simeq W \otimes V^\ast\).
In particolare l'ultimo che ho scritto mostra che $Hom(V,W)$ e' canonicamente isomorfo a $Hom(W^\ast,V^\ast)$ (e il morfismo e' dato dalla trasposta se scriviamo tutto in basi, oppure dal pullback (che poi e' pur sempre una trasposta) se vogliamo scriverlo senza basi).
Ho pero' il sospetto che la parola "canonico" nasconda sempre un'azione di un gruppo e "canonico = equivariante rispetto a tale azione". In questi casi che ho scritto il gruppo sarebbe $GL(V) \times GL(W)$.
Grazie per la risposta pappappero.
L'ispirazione per questa cosa mi è venuta leggendo che se si fissa un prodotto scalare $phi:V \times V \rightarrow \mathbb{K}$ sullo spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$ su $\mathbb{K}$, se si prende $U:=Rad(\phi)$ e $Z_1$,$\Z_2$ supplementari del radicale in $V$, questi sono "canonicamente isometrici" (addirittura!). La dimostrazione è molto simile a quella fatta da me sopra. Prima si trova l'isomorfismo vettoriale canonico tra $Z_1$ e $Z_2$ e poi si verifica facilmente che questo è una isometria.
Prendendo spunto da questa dimostrazione avevo dedotto che se prendo in $V$ un sottospazio $W$ e prendo due supplementi $Z_1$ e $Z_2$ (a priori distinti), questi ultimi sono canonicamente isomorfi.
Solo che si riuscivo a dimostrare che $Z_1=Z_2$ necessariamente, per cui, non vedendone l'utilità, ho pensato alla proposizione scritta sopra per fare in modo che potesse verificarsi anche il caso $Z_1\ne Z_2$. Solo che da quanto mi confermi, la pensata è fallimentare rispetto alla "canonicità".
Mi viene da pensare che l'isomorfismo canonico tra i supplementari di uno stesso sottospazio esista solo se questi ultimi coincidono come sottospazi. Mi sbaglio?
PS: Spero che qualcuno più preparato di me ti risponda riguardo alla questione dell'azione di gruppo perchè lo trovo un argomento molto molto interessante!
L'ispirazione per questa cosa mi è venuta leggendo che se si fissa un prodotto scalare $phi:V \times V \rightarrow \mathbb{K}$ sullo spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$ su $\mathbb{K}$, se si prende $U:=Rad(\phi)$ e $Z_1$,$\Z_2$ supplementari del radicale in $V$, questi sono "canonicamente isometrici" (addirittura!). La dimostrazione è molto simile a quella fatta da me sopra. Prima si trova l'isomorfismo vettoriale canonico tra $Z_1$ e $Z_2$ e poi si verifica facilmente che questo è una isometria.
Prendendo spunto da questa dimostrazione avevo dedotto che se prendo in $V$ un sottospazio $W$ e prendo due supplementi $Z_1$ e $Z_2$ (a priori distinti), questi ultimi sono canonicamente isomorfi.
Solo che si riuscivo a dimostrare che $Z_1=Z_2$ necessariamente, per cui, non vedendone l'utilità, ho pensato alla proposizione scritta sopra per fare in modo che potesse verificarsi anche il caso $Z_1\ne Z_2$. Solo che da quanto mi confermi, la pensata è fallimentare rispetto alla "canonicità".
Mi viene da pensare che l'isomorfismo canonico tra i supplementari di uno stesso sottospazio esista solo se questi ultimi coincidono come sottospazi. Mi sbaglio?
PS: Spero che qualcuno più preparato di me ti risponda riguardo alla questione dell'azione di gruppo perchè lo trovo un argomento molto molto interessante!
Prendiamo
\[
\mathbb{R}^2 = \langle (1,0) \rangle \oplus \langle (0,1) \rangle = \langle (1,0) \rangle \oplus \langle (1,1) \rangle
\]
con \( V = \mathbb{R}^2 \), \(W = \langle (1,0) \rangle\), \(Z_1 = \langle (0,1) \rangle\) e \(Z_2 = \langle (1,1) \rangle\). Allora posso scrivere una marea di isomorfismi tra $Z_1$ e $Z_2$ (e addiriturra una marea di automorfismi di $V$ che valgono l'identita' su $W$ e mandino $Z_1$ in $Z_2$) e a priori non ce ne e' uno piu' bello degli altri.
Se ora prendiamo \(Z_1 = Z_2 = \langle (0,1) \rangle\), allora ho comunque tanti isomorfismi diversi; in questo caso pero' la restrizione dell'identita' di $V$ sembra che sia piu' bello degli altri, ma ho dei dubbi a parlare di canonicita'.
Se si fissa un prodotto scalare le cose cambiano un pochino, perche' si puo' forzare qualche ipotesi di "normalita' " rispetto al prodotto scalare. Pero' non conosco il risultato di cui parli. Se posti una referenza provo a dargli un'occhiata.
\[
\mathbb{R}^2 = \langle (1,0) \rangle \oplus \langle (0,1) \rangle = \langle (1,0) \rangle \oplus \langle (1,1) \rangle
\]
con \( V = \mathbb{R}^2 \), \(W = \langle (1,0) \rangle\), \(Z_1 = \langle (0,1) \rangle\) e \(Z_2 = \langle (1,1) \rangle\). Allora posso scrivere una marea di isomorfismi tra $Z_1$ e $Z_2$ (e addiriturra una marea di automorfismi di $V$ che valgono l'identita' su $W$ e mandino $Z_1$ in $Z_2$) e a priori non ce ne e' uno piu' bello degli altri.
Se ora prendiamo \(Z_1 = Z_2 = \langle (0,1) \rangle\), allora ho comunque tanti isomorfismi diversi; in questo caso pero' la restrizione dell'identita' di $V$ sembra che sia piu' bello degli altri, ma ho dei dubbi a parlare di canonicita'.
Se si fissa un prodotto scalare le cose cambiano un pochino, perche' si puo' forzare qualche ipotesi di "normalita' " rispetto al prodotto scalare. Pero' non conosco il risultato di cui parli. Se posti una referenza provo a dargli un'occhiata.
Grazie della pazienza! Questo è il link degli appunti che seguo e devi guardare definizione 4.2.5 e proposizione 4.2.5 a pag 98 (la pagina reale degli appunti... quella che compare in alto nel file pdf dovrebbe essere la pag 99).
link:
http://poisson.dm.unipi.it/~mezzedimi/GAAL.pdf
link:
http://poisson.dm.unipi.it/~mezzedimi/GAAL.pdf
In effetti in quel testo si trova una isometria canonica.
Una dimostrazione simile la puoi fare nel caso che hai proposto all'inizio. In effetti se in generale hai $V = W \oplus Z_1 = W \oplus Z_2$ per ogni $v \in V$ hai univocamente determinati $w_1,z_1,w_2,z_2$ con $w_1,w_2 \in W$ e $z_i \in Z_i$ tali che
\[
v = w_1 + z_1 = w_2 + z_2.
\]
In particolare, se $v \in Z_1$ hai $w_1 = 0$ e $z_1 = v$.
Definiamo quindi $f : Z_1 \to Z_2$ come $v \mapsto z_2(v)$, dove $z_2(v)$ e' l'unico elemento di $Z_2$ per cui esiste un $w_2 \in W$ con $v = w_2 + z_2(v)$.
Non ho fatto i conti, ma immagino sia facile osservare che questo e' un isomorfismo e certamente non abbiamo scelto nessuna base per definirlo. Pero' non capisco troppo bene in che senso e' canonico. Ci penso meglio ma ora e' tardi.
Una dimostrazione simile la puoi fare nel caso che hai proposto all'inizio. In effetti se in generale hai $V = W \oplus Z_1 = W \oplus Z_2$ per ogni $v \in V$ hai univocamente determinati $w_1,z_1,w_2,z_2$ con $w_1,w_2 \in W$ e $z_i \in Z_i$ tali che
\[
v = w_1 + z_1 = w_2 + z_2.
\]
In particolare, se $v \in Z_1$ hai $w_1 = 0$ e $z_1 = v$.
Definiamo quindi $f : Z_1 \to Z_2$ come $v \mapsto z_2(v)$, dove $z_2(v)$ e' l'unico elemento di $Z_2$ per cui esiste un $w_2 \in W$ con $v = w_2 + z_2(v)$.
Non ho fatto i conti, ma immagino sia facile osservare che questo e' un isomorfismo e certamente non abbiamo scelto nessuna base per definirlo. Pero' non capisco troppo bene in che senso e' canonico. Ci penso meglio ma ora e' tardi.
Ho pero' il sospetto che la parola "canonico" nasconda sempre un'azione di un gruppo e "canonico = equivariante rispetto a tale azione".
Sort of
"isomorfismo canonico" significa che tra due funtori c'è un isomorfismo naturale, di cui tu stai guardando le componenti.
E se volessimo scriverlo esplicitamente nei casi proposti che si dovrebbe fare?
Ad esempio:
- \( V \simeq V^{**} \);
- \( V \oplus W \simeq W \oplus V \);
- \( V \otimes W \simeq W \otimes V \);
- $Z_1$ e $Z_2$ del post sopra.
Ad esempio:
- \( V \simeq V^{**} \);
- \( V \oplus W \simeq W \oplus V \);
- \( V \otimes W \simeq W \otimes V \);
- $Z_1$ e $Z_2$ del post sopra.
Anzitutto definire le componenti dell'isomorfismo: caso per caso saranno
- La mappa che manda $v\in V$ in \(\text{ev}_v\in V^{**}\)
- La mappa che scambia le entrate $(v,w)\mapsto (w,v)$ (è l'isomorfismo canonico che rende il prodotto "simmetrico" nei suoi argomenti); lo puoi vedere come l'azione di un gruppo, come dicevi.
- La mappa che permuta i monomi di un tensore, mandando $v\otimes w \in V\otimes W$ in $w\otimes v\in W\otimes V$; anche questo risulta dall'azione di un gruppo (simmetrico), ma puoi vederlo anche come conseguenza del primo isomorfismo: \(V\otimes W\in\bf Vect\) rappresenta infatti il funtore \(U\mapsto \text{Bilin}(V\times W,U)\), cosicché se i funtori \(\text{Bilin}(V\times W,-)\) e \(\text{Bilin}(W\times V,-)\) sono isomorfi in un unico modo (lo sono), devono esserlo anche i funtori \({\bf Vect}(V\otimes W,-)\) e \({\bf Vect}(W\otimes V,-)\), sicché (come conseguenza del lemma di Yoneda) deve esistere un isomorfismo unico $V\otimes W\cong W\otimes V$.
- L'esempio con $Z_i$ ora dovrei leggermelo meglio: mi sembra non ci sia un isomorfismo canonico in \(\bf Vect\) ma nella categoria degli spazi euclidei, che è equivalente a \({\bf Vect}_\text{d}\), definita avendo come oggetti le coppie $(V, \varphi)$, dove $\varphi : V \cong V^*$ è un isomorfismo assegnato, e i morfismi sono mappe lineari $a : V\to W$ tali che
\[a^*\circ \varphi_V = \varphi_W \circ a.\]
In ciascun caso, fatto questo, devi mostrare la naturalità della mappa che hai definito, e poi il fatto che ciascuna di queste trasformazioni naturali è invertibile in ogni sua componente.
- Per il biduale, si tratta di una trasformazione naturale dal funtore identico di \(\bf Vect\) verrso il funtore \(V\mapsto V^{**}\)
- Per il prodotto/prodotto tensoriale invece si tratta di una trasformazione naturale dal (b)funtore $\otimes$ al (bi)funtore $\otimes\circ \sigma$, dove $\sigma$ è la permutazione che ti aspetti.
eccetera
- La mappa che manda $v\in V$ in \(\text{ev}_v\in V^{**}\)
- La mappa che scambia le entrate $(v,w)\mapsto (w,v)$ (è l'isomorfismo canonico che rende il prodotto "simmetrico" nei suoi argomenti); lo puoi vedere come l'azione di un gruppo, come dicevi.
- La mappa che permuta i monomi di un tensore, mandando $v\otimes w \in V\otimes W$ in $w\otimes v\in W\otimes V$; anche questo risulta dall'azione di un gruppo (simmetrico), ma puoi vederlo anche come conseguenza del primo isomorfismo: \(V\otimes W\in\bf Vect\) rappresenta infatti il funtore \(U\mapsto \text{Bilin}(V\times W,U)\), cosicché se i funtori \(\text{Bilin}(V\times W,-)\) e \(\text{Bilin}(W\times V,-)\) sono isomorfi in un unico modo (lo sono), devono esserlo anche i funtori \({\bf Vect}(V\otimes W,-)\) e \({\bf Vect}(W\otimes V,-)\), sicché (come conseguenza del lemma di Yoneda) deve esistere un isomorfismo unico $V\otimes W\cong W\otimes V$.
- L'esempio con $Z_i$ ora dovrei leggermelo meglio: mi sembra non ci sia un isomorfismo canonico in \(\bf Vect\) ma nella categoria degli spazi euclidei, che è equivalente a \({\bf Vect}_\text{d}\), definita avendo come oggetti le coppie $(V, \varphi)$, dove $\varphi : V \cong V^*$ è un isomorfismo assegnato, e i morfismi sono mappe lineari $a : V\to W$ tali che
\[a^*\circ \varphi_V = \varphi_W \circ a.\]
In ciascun caso, fatto questo, devi mostrare la naturalità della mappa che hai definito, e poi il fatto che ciascuna di queste trasformazioni naturali è invertibile in ogni sua componente.
- Per il biduale, si tratta di una trasformazione naturale dal funtore identico di \(\bf Vect\) verrso il funtore \(V\mapsto V^{**}\)
- Per il prodotto/prodotto tensoriale invece si tratta di una trasformazione naturale dal (b)funtore $\otimes$ al (bi)funtore $\otimes\circ \sigma$, dove $\sigma$ è la permutazione che ti aspetti.
eccetera
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