Isomorfismo

[maria601]

Ritornando a un vecchio esercizio nel quale mi si chiede di dimostrare che l'applicazione $ f(x,y,z)=(-7x+10y+2z,kx-2ky-2z,ky+3z) $ è un isomorfismo, ho calcolato l'immagine della base canonica mediante f, poi ho scritto la matrice ponendo in colonna i vettori immagine, ho trovato il rango che è nullo per k =0 e per K=1, quindi per tali valori non è un isomorfismo, mentre per ogni k è un'applicazione lineare ?

[killing_buddha]

Un determinante dovrebbe bastare... viene 2k(k-1), dunque su un campo di caratteristica 2 $f$ e' sempre non-invertibile, cosi' come per $k=0,1$.

[maria601]

Devo stabilire se è diagonalizzabile : ho trovato direttamente gli autovalori che sono 0,3 -7,ognuno con molteplicità 1,quindi la funzione è diagonalizzabile. Successivamente per trovare la base spettrale ho cercato innazitutto gli autospazi, ma per -7 mi viene la soluzione (0,0,0), non so se va bene...

[killing_buddha]

No, hai chiaramente sbagliato, lo zero non e' mai un autovalore (per definizione, credo: l'equazione si banalizza!).

[maria601]

Si, ho sbagliato dovrebbe essere (x,0,0) per l'auiovalore -7, per l'autovalore 3 viene la soluzione (-7/15z,-7/3z,z) mentre per 0 viene (-10/7y,y,0) , da cui si ricava la base spettrale cioè (1,0,0), (-7/15,-7/3,1), (-10/7,1,0) ?