Isomorfismo

[maria601]

Sia f l'applicazione definita da $f(x,y,z)= (-7x+10y+2z,kx-2ky-2z,ky+3z) $. con k parametro. Si stabilisca per quali valori di k l'applicazione è un isomorfismo. Avrei ragionato nel seguente modo: essendo una funzione di R3 in R3, se si dimostra che è lineare resta mostrato che è un isomorfismo. Inoltre dovrebbe essere un isomorfismo per ogni K.Grazie.

[Riccardo Desimini]

"maria60":Essendo una funzione di R3 in R3, se si dimostra che è lineare resta mostrato che è un isomorfismo.

Il fatto che $ f $ sia lineare si vede subito applicando la definizione.

Nonostante questo, per $ k = 0 $, $ f $ non è un isomorfismo.

[lordb]

Considera che se $f$ è lineare vale:

$dim Ker + dim Im = 3$

E' un isomorfismo se e solo se è :

-Iniettiva: $dim Ker = 0$.
-Suriettiva: $dim Im = 3$.

Come vedi, in questo semplice caso vale la co-implicazione:

$\text{f iniettiva} <=> \text{f suriettiva}$.

[maria601]

Puoi spiegarmi meglio perchè per k=0 non è un isomorfismo ? e perhè vale la coimplicazione ? Successivamente mi si chiede di verificare se è diagonalizzabile per k=0, ma per essere diagonalizzabile non deve essere un isomorfismo ? Scusa....

[Odexios]

"maria60":Puoi spiegarmi meglio perchè per k=0 non è un isomorfismo ? e perhè vale la coimplicazione ? Successivamente mi si chiede di verificare se è diagonalizzabile per k=0, ma per essere diagonalizzabile non deve essere un isomorfismo ? Scusa....

La coimplicazione vale perché, se $f:\ V->W$ è lineare, $dim(ker(f)) + dim(Im(f)) = dim(V)$, come diceva lordb; allora se $f$ è iniettiva $dim(ker(f)) = 0 => dim(Im(f)) = dim(V)$, quindi (in questo caso, in cui la dimensione del codominion e del dominio è la stessa) la funzione è suriettiva, mentre se $f$ è suriettiva $dim(Im(f)) = dim(V) => dim(ker(f)) + dim(V) = dim(V) => dim(ker(f)) = 0$, cioè $f$ è iniettiva; segue che $f$ è suriettiva $iff$ è iniettiva, e per definizione un'applicazione lineare è un isomorfismo $iff$ è suriettiva e iniettiva.

Per quel che riguarda il caso $k = 0$, ti direi di guardare a mano cosa succede: applica l'applicazione ad una base, e studia l'insieme con cui ti ritrovi.

Ultima: un'applicazione lineare non deve essere bigettiva necessariamente per essere diagonalizzabile. Pensa ad un caso banale: l'applicazione nulla, per esempio proprio da $R^3$ in $R^3$; la matrice che la rappresenta secondo una qualsiasi base è $((0,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$, che è un matrice diagonale, ma l'applicazione è chiaramente non iniettiva, quindi non è un isomorfismo.

[maria601]

Per dimostrare che l'applicazione è iniettiva bisogna mostrare che il sistema che si trova imponendo uguale a zero ognuno delle componenti dell'immagine uguale a zero è impossibile ? Non c'è un procedimento più rapido ?

[Odexios]

Impossibile non può mai esserlo; $AA f$ applicazione lineare $f(0) = 0$, quindi $0$ è sempre soluzione; devi dimostrare che esistono soluzioni diverse da $0$. Operativamente il modo più facile è prendere la matrice associata secondo una base, e ricavare il rango; se il rango è uguale alla dimensione dello spazio dominio la funzione è iniettiva, altrimenti non lo è.

Per esempio, se hai $f: R^3 -> R^3$ tale che $f(e_1) = e_2 + e_3,\ f(e_2) = e_2, f(e_3) = e_2 + 3e_3$ la matrice associata secondo la base canonica è $A=((0,0,0),(1,1,1),(1,0,3))$; si vede da subito che ha una riga di zeri, quindi il rango è al più 2, quindi l'applicazione non è iniettiva.

[maria601]

C'è ancora una cosa che non ho capito : se la dimensione del kerf è zero,quando è iniettiva, significa che non ci sono vettori che hanno immagine zero ? quindi ogni funzione lineare non sarebbe iniettiva, visto che $ f(0)=0 $.? Avrò fatto confusione!