Isomorfismo
ciao a tutti! mi spiegate perchè lo spazio delle applicazioni lineari è isomorfo al gruppo di matrici M(mn)? se considero questo isomorfismo e lo chiamo L e considero una matrice A appartemente a M per dimostrare che è lineare la prof usa per l'iniettività Ker L=0 per la suriettività usa l'immagine di T e perchè lo fa e come faccio ad arrivare a dire questo? mi spiegate un pò questi due concetti e come fare? grazie!!
Risposte
L'idea di come costruire questo isomorfismo ti è chiaro?
Prova a scrivere magari il passaggio che non ti è chiaro.
Prova a scrivere magari il passaggio che non ti è chiaro.
si anche però non capisco perchè sono isomorfi e soprattutto come fare a dimostrarlo visto che la mia prof si serve per l'iniettività del ker=0 e per la surgettività di T=L(A) considerando A una generica matrice appartenenti a M(mn) per dimostrare che è lineare! non capisco proprio come ha fatto e perchè deve arrivare a questa conclusione!
Considera $f:V \to W$ con $dimV=n$ e $dimW=m$ lineare.
Fissa una base di $V$ ed una di $W$, allora sai che è univocamente determinata $A$ matrice che rispetto alle due basi fissate della $f$.
Allora considera una applicazione $phi : Hom (V,W) \to M(n,m)$ tale che $phi(f)=A$ cioè la matrice che la rappresenta rispetto a queste basi.
Prova tu che è lineare magari e la surgettività.
Per l'iniettività: Possiamo provare $ker phi={0}$
$phi(T)=0$ allora $A=0$ cioè la matrice nulla. Ma allora l'applicazione che $A$ rappresenterà è necessariamente quella nulla, cioè $T$ è nulla. Poichè il fatto che $A$ sia nulla vuol dire che $T(v_i)=0$ per ogni $i=1,...,n$
Fissa una base di $V$ ed una di $W$, allora sai che è univocamente determinata $A$ matrice che rispetto alle due basi fissate della $f$.
Allora considera una applicazione $phi : Hom (V,W) \to M(n,m)$ tale che $phi(f)=A$ cioè la matrice che la rappresenta rispetto a queste basi.
Prova tu che è lineare magari e la surgettività.
Per l'iniettività: Possiamo provare $ker phi={0}$
$phi(T)=0$ allora $A=0$ cioè la matrice nulla. Ma allora l'applicazione che $A$ rappresenterà è necessariamente quella nulla, cioè $T$ è nulla. Poichè il fatto che $A$ sia nulla vuol dire che $T(v_i)=0$ per ogni $i=1,...,n$
la linearità la dimostro con l'additività e l'omogeneità giusto? ma la surgettività ovvero T=L(A) proprio non riesco a immaginare come procedere! e poi cosa centra questo procedimento col concetto di surgettività? è questo il mio nodo che non comprendo!! grazie mille ancora!
Sia $A in M(n,m)$ e consideriamo i vettori $w'_i=phi^(-1) (A_(i))$ per $i=1,...n$.
Allora esiste un'unica applicazione lineare $f$ tale che $f(v_i)=w'_i$.
E' facile notale che $phi(f)=A$
Allora esiste un'unica applicazione lineare $f$ tale che $f(v_i)=w'_i$.
E' facile notale che $phi(f)=A$
più o meno ho capito! ma perchè la surgettività si dimostra così? ti ringrazio!!
riguardandolo mi rendo conto che proprio la parte della surgettività della spiegazione precedente non mi è chiara!! non riesco ancora a capire perchè $ T= L(A) $ e perchè si dimostra così la surgettività!
Scusami cosa della mia dimostrazione non ti è chiara? Altrimenti non so come aiutarti.
Quel $T=L(A)$ non conoscendo la dimostrazione (nè la notazione) della tua professoressa proprio non saprei cosa significa.
Quel $T=L(A)$ non conoscendo la dimostrazione (nè la notazione) della tua professoressa proprio non saprei cosa significa.
quello corrisponde al tuo $ psi (f) = A $ . non ho capito la surgettività della dimostrazione che mi hai fatto l'iniettività e la linearità le ho capite. E poi, perchè la surgettività qui si dimostra così?
Ma è un metodo standard, semplicemente si adatta alla situazione. Voglio far vedere che presa una qualsiasi matrice, posso sempre trovare una applicazione $f$ tale che $phi(f)=A$. A questo punto costruisco opportunamente la $f$ assegnando le immagini ai vettori di una base di $V$ in modo che le componenti, rispetto alla base di $W$ siano le colonne della matrice $A$.
forse ho capito anche se continuo a non capire perchè la surgettività si dimostra così! vabe dai cercherò di capirlo l'importante è che ho capito nel complesso questa situazione.Domanda tu che libro hai usato per questa materia?
Cosa vuol dire che non capisci perchè si dimostra così? Prova a spiegarti meglio, magari posso essere più chiaro.
Di base il Sernesi (Geometria 1), integrandolo con gli appunti presi a lezione e dalla rete.
Di base il Sernesi (Geometria 1), integrandolo con gli appunti presi a lezione e dalla rete.
si .cioè ho capito il filo del discorso più o meno ma non capisco perchè devo fare questo per dimostrare la surgettività
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