Isomorfismi tra spazio vettoriale, duale e biduale.
Salve chiedo delle delucidazioni su alcune proposizioni presentate senza dimostrazione sul libro di testo.
Che è un isomorfismo (in questo contesto credo lo intenda semplicemente come applicazione biunivoca) si vede subito considerando che ogni applicazione lineare è completamente definita dai valori che assume sui vettori della base. Volevo concentrarmi sul fatto che questo isomorfismo dipende dalla scelta della base.
L'ho interpretato in questo modo (uso il linguaggio matriciale per brevità): siano $ B $ e $ B'$ due basi di $ V $, allora $ A_B(L)=B^TL $ e $ A_B'(L)=B'^TL $. $A_B$ e $A_B'$ sono entrambi isomorfismi ma l'immagine associata alla generica L differisce, in particolare $ A_B'(M_(B',B)L)=A_B(L) $ , dove M è la matrice del cambiamento di base.
Dopodiché fa la stessa generalizzazione della proposizione passando al caso in cui V abbia dimensione infinita, il ragionamento dovrebbe essere analogo e non credo porti complicanze (a parte il fatto che non è più propriamente corretto esprimersi con il linguaggio matriciale, però il ragionamento dovrebbe essere lo stesso).
Di questa non riesco a spiegarmi bene il punto 3.
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Che è un isomorfismo (in questo contesto credo lo intenda semplicemente come applicazione biunivoca) si vede subito considerando che ogni applicazione lineare è completamente definita dai valori che assume sui vettori della base. Volevo concentrarmi sul fatto che questo isomorfismo dipende dalla scelta della base.
L'ho interpretato in questo modo (uso il linguaggio matriciale per brevità): siano $ B $ e $ B'$ due basi di $ V $, allora $ A_B(L)=B^TL $ e $ A_B'(L)=B'^TL $. $A_B$ e $A_B'$ sono entrambi isomorfismi ma l'immagine associata alla generica L differisce, in particolare $ A_B'(M_(B',B)L)=A_B(L) $ , dove M è la matrice del cambiamento di base.
Dopodiché fa la stessa generalizzazione della proposizione passando al caso in cui V abbia dimensione infinita, il ragionamento dovrebbe essere analogo e non credo porti complicanze (a parte il fatto che non è più propriamente corretto esprimersi con il linguaggio matriciale, però il ragionamento dovrebbe essere lo stesso).
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Di questa non riesco a spiegarmi bene il punto 3.
Risposte
Sia $B={v_1, \cdots v_n}$ una base di $V$ e $B^{\ast}{v^1, \cdots, v^n}$ una base di $V^{\ast}$ dato che $\Phi_B(v_h)=v^h$ e $\Psi=\Phi_{B^{\ast}} @ \Phi_B$ risulta $\Psi(v_h)(v^h)=v^h(v_h)=1$ indipendentemente dalla base scelta
Ho provato con il caso semplice, uno spazio vettoriale di dimensione 1, per esempio R. In tale spazio li generico elemento è nella forma $ lambda $ , il generico elemento del duale è $ f(x)=lambdax $ , e il generico elemento del biduale è un funzionale lineare $ F(lambdax)=tlamda $ .
Se eseguiamo il procedimento descritto sopra su R visto come spazio vettoriale prendendo come base $ 1 $ otteniamo che la base canonica del duale è $ f(x)=x $ e quella del biduale è $ F(lambdax)=lambda $ . Il generico numero $ y $ espresso come $y=k*1$ viene mandato in $ yrarr f(x)=kxrarr F(lambdax)=klambda $ . Se invece prendo come base 2, la base del duale è $ f(x)=1/2x $ e quella del biduale è $ F(lambdax)=2lambda $ . Il generico numero $y$ espresso come $y=k'*2$ viene mandato in $ yrarr f(x)=1/2k'xrarr F(lambdax)=2lambdak' $ . Ora poiché $ k'=k/2 $ vediamo che in entrambe le costruzioni allo stesso numero è associata la stessa immagine indipendentemente dalla base scelta.
Generalizzando questo ragionamento con il linguaggio matriciale dovrei riuscire a dimostrarlo per il caso generale.
Se eseguiamo il procedimento descritto sopra su R visto come spazio vettoriale prendendo come base $ 1 $ otteniamo che la base canonica del duale è $ f(x)=x $ e quella del biduale è $ F(lambdax)=lambda $ . Il generico numero $ y $ espresso come $y=k*1$ viene mandato in $ yrarr f(x)=kxrarr F(lambdax)=klambda $ . Se invece prendo come base 2, la base del duale è $ f(x)=1/2x $ e quella del biduale è $ F(lambdax)=2lambda $ . Il generico numero $y$ espresso come $y=k'*2$ viene mandato in $ yrarr f(x)=1/2k'xrarr F(lambdax)=2lambdak' $ . Ora poiché $ k'=k/2 $ vediamo che in entrambe le costruzioni allo stesso numero è associata la stessa immagine indipendentemente dalla base scelta.
Generalizzando questo ragionamento con il linguaggio matriciale dovrei riuscire a dimostrarlo per il caso generale.
"dan95":
Sia $B={v_1, \cdots v_n}$ una base di $V$ e $B^{\ast}{v^1, \cdots, v^n}$ una base di $V^{\ast}$ dato che $\Phi_B(v_h)=v^h$ e $\Psi=\Phi_{B^{\ast}} @ \Phi_B$ risulta $\Psi(v_h)(v^h)=v^h(v_h)=1$ indipendentemente dalla base scelta
Avevo missato il tuo edit, grazie mille.
Aggiungo che però ancora non credo di aver capito bene perché questo implichi che è un isomorfismo canonico, immagino si possa dire che poiché psi è determinata dai valori che assume sulla base di V e poiché questi non cambiano comunque si scelga la base di V allora è un isomorfismo canonico.
Sì è quello che ho pensato anche io
P.s. stai studiando geometria differenziale?
P.s. stai studiando geometria differenziale?
Si sto studiando geometria differenziale, per ora però sto facendo un ripasso, perlopiù approfondimento, di algebra multilineare.
Per comprendere meglio la questione ho provato a dare una dimostrazione più costruttivista. Consideriamo, credo senza perdita di generalità, lo spazio vettoriale $ RR^n $ , il generico elemento del duale è $ phi_x(*)= $ , quello del biduale è $ F_x(phi_y)= $, cioè il funzionale che manda phi-y in phi-y calcolata in x. Scegliamo una base di $ RR^n $ e costruiamo la matrice $ B $ che ha come come colonne i suoi vettori. A questo punto la base del duale, identificato con $ RR^n $ , che cerchiamo si trova risolvendo $ (B^**)^TB=I_n $ , cioè $ B^**=(B^(-1))^T $ . Infatti così si trovano, come vettori colonna di $ B^** $, quei vettori sui quali possiamo definire le phi che hanno la proprietà di restituire i valori $ phi_(b_i^**)(b_j)={ ( 1 \ \ \ \ i=j),( 0 \ \ \ \ i!=j):} $ . La base del biduale identificato con $ RR^n $ si trova risolvendo $ (B^(**\**))^TB^**=I_n $ , quindi $ B^(**\**)=B $ . Quindi la nostra costruzione, al netto di isomorfismi, manda il generico vettore $ X $ in $ BX_B $ , dove $ X_B $ è il vettore espresso in componenti della base B. Vediamo che $BX_B=X_C$, cioè il vettore espresso in componenti della base canonica, quindi indipendentemente dalla base scelta l'immagine non cambia.
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