Isometrie lineari e prodotto scalare

[ale.b14]

Allora, siamo in uno spazio vettoriale $V$ dotato di prodotto scalare $<.,.>$. Per definizione una isometria lineare di $V$ in sè è un'applicazione lineare $\phi:V\rightarrow V$ tale che

$<\phi (v),\phi (w)> = $ per ogni $v,w \in V$

Ho una piccola curiosità che non sono riuscito a provare nè confutare: se ho un'applicazione (a priori non necessariamente lineare) $\psi :V\rightarrow V$ tale che:
$1)$ $\psi (0)=0$;
$2)$ $\psi$ conserva i prodotti scalari;
Posso concludere che $\psi$ è lineare (e quindi, nel caso $V=\mathbb{R}^n$ che $\psi\in O(n,\mathbb{R})$)?

[5mrkv]

\begin{split}
\langle L(a+b),L(c)\rangle
&=\langle a+b,c \rangle \\
&=\langle a,c \rangle+\langle b,c \rangle \\
&=\langle L(a),L(c)\rangle+\langle L(b),L(c) \rangle \\
&=\langle L(a)+L(b),L(c)\rangle \Rightarrow \\
0&=\langle L(a+b)-L(a)-L(b),L(c)\rangle
\end{split}
Se la forma bilineare è non degenere (vale a dire se \(\langle x,y\rangle=0\ \forall y \in X\) ,con \(X\) insieme di definizione della forma, allora \(x=0\)) e \(L\) è suriettiva (l'ultima formula ottenuta vale per ogni \(L(c)\)) segue che
\[L(a+b)=L(a)+L(b)\]
Prova a verificare.