Isometrie e rotazioni

[valerio19961]

Sia ρ l’isometria (x,y,z) → (−y,−z,−x)di E3. È una rotazione?Si mostri che genera un gruppo ciclico G di ordine 6

Ciao a tutti volevo chiedervi se l isometria citata in questo esercizio sia o meno una rotazione,
perchè nonostante ci provi non riesco trovare una matrice di SO(3) che moltiplicata per (x,y,z) mi dia (-y,-z,-x)...
Per quanto riguarda l altro punto ho applicato l isometria ρ^6 ed effettivamente ottengo l elemento (x,y,z) può essere sufficiente come spiegazione del fatto che ρ generi un gruppo ciclico?

[anonymous_0b37e9]

Più in generale, piuttosto che andare per tentativi e utilizzando la notazione matriciale:

$[[x_2],[y_2],[z_2]]=[[0,-1,0],[0,0,-1],[-1,0,0]][[x_1],[y_1],[z_1]]$

sai come dimostrare che si tratta di una rotazione?

[valerio19961]

non vorrei dire fisserie ma non è sufficiente dire che il determinante è 1 ?

[ciampax]

"valerio1996":non vorrei dire fisserie ma non è sufficiente dire che il determinante è 1 ?

O $-1$, dipende dal senso della rotazione. E comunque non c'è bisogno che sia una matrice di $SO_3$ ma solo di $O_3$.

[valerio19961]

ok quindi si tratta di una rotazione, grazie mille per l aiuto

[spugna2]

"ciampax":[quote="valerio1996"]non vorrei dire fisserie ma non è sufficiente dire che il determinante è 1 ?

O $-1$, dipende dal senso della rotazione. E comunque non c'è bisogno che sia una matrice di $SO_3$ ma solo di $O_3$.[/quote]

Non vorrei aver frainteso, comunque le rotazioni hanno sempre determinante $1$...

[valerio19961]

Se le rotazioni hanno sempre det 1 il fatto che questa rotazione abbia determinante -1 dipende solo dal suo senso di rotazione?

[ciampax]

"spugna":[quote="ciampax"][quote="valerio1996"]non vorrei dire fisserie ma non è sufficiente dire che il determinante è 1 ?

O $-1$, dipende dal senso della rotazione. E comunque non c'è bisogno che sia una matrice di $SO_3$ ma solo di $O_3$.[/quote]

Non vorrei aver frainteso, comunque le rotazioni hanno sempre determinante $1$...[/quote]

Se preservi l'orientazione.

[@melia]

Le rotazioni sono delle isometrie pari (composizione di due simmetrie assiali) come le traslazioni, quindi, per definizione mantengono l'orientamento.