Ipersfera
Sto studiando le "applicazioni" della relatività generale alla cosmologia e mi sono bloccato su alcuni passaggi.
Il libro dice: "L'equazione di una ipersfera di raggio $a$ nello spazio quadrimensionale ha la forma
$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=a^2$
e l'elemento di lunghezza su questa ipersfera è
$dl^2=dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2+dx_4^2$
eliminando la coordinata fittizia $x_4$ in $dl^2$ utilizzando la prima equazione otteniamo
$dl^2=dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2+(x_1dx_1+x_2dx_2+x_3dx_3)^2/(a^2-x_1^2-x_2^2-x_3^2)$
Come ottengo quest'ultimo risultato? Grazie dell'aiuto!
Il libro dice: "L'equazione di una ipersfera di raggio $a$ nello spazio quadrimensionale ha la forma
$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=a^2$
e l'elemento di lunghezza su questa ipersfera è
$dl^2=dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2+dx_4^2$
eliminando la coordinata fittizia $x_4$ in $dl^2$ utilizzando la prima equazione otteniamo
$dl^2=dx_1^2+dx_2^2+dx_3^2+(x_1dx_1+x_2dx_2+x_3dx_3)^2/(a^2-x_1^2-x_2^2-x_3^2)$
Come ottengo quest'ultimo risultato? Grazie dell'aiuto!
Risposte
Scrivi $x_4$ in forma esplicita usando la prima equazione:
\[
x_4 = \sqrt{a^2 - x_1^2 - x_2^2 - x_3^3}
\]
che scrivo per comodita' nella forma $x_4 = f(x_1,x_2,x_3)$.
A questo punto si ha $dx_4 = \frac{\partial f}{\partial x_1} dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2} dx_2 + \frac{\partial f}{\partial x_3} dx_3$ e poi facendo i quadrati si ottiene che $(dx_4)^2$ e' il quarto addendo nell'espressione che hai scritto.
\[
x_4 = \sqrt{a^2 - x_1^2 - x_2^2 - x_3^3}
\]
che scrivo per comodita' nella forma $x_4 = f(x_1,x_2,x_3)$.
A questo punto si ha $dx_4 = \frac{\partial f}{\partial x_1} dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2} dx_2 + \frac{\partial f}{\partial x_3} dx_3$ e poi facendo i quadrati si ottiene che $(dx_4)^2$ e' il quarto addendo nell'espressione che hai scritto.
Avevo pensato pure io di farlo così, non so perché mi sono bloccato. Grazie!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo