Iperpiani e sottospazi
Ciao! 
Mi è venuta in mente una cosa(un fatto abbastanza ovvio) che ho voluto dimostrare, fatemi sapere se secondo voi è corretta(penso di si).
indicherò con $H$ un generico iperpiano di uno spazio vettoriale e $I_t={n in NN: 1leqnleqt}$
Proposizione
sia $V$ un $K$ spazio vettoriale di dimensione $n$.
se $W$ è un sottospazio di dimensione $m$ allora esistono $n-m$ iperpiani di $V$ tali che $bigcap_(i in I_(n-m))H_i=W$
dimostrazione
lo faccio senza usare le equazioni cartesiane.
Supponiamo che $W=$ e completiamo a base $V= $
pongo $S={w_1,...,w_m,v_1,...,v_(n-m)}$ e definisco i seguenti sottospazi
si vuole mostrare che $W=bigcap_(k in I_(n-m))H_k$
la prima inclusione, ovvero $Wsubseteqbigcap_(k in I_(n-m))H_k$, è ovvia per definizione stessa degli iperpiani in quanto contengono ogni combinazione lineare dei vettori $w_1,...,w_m$
Per la seconda ho ragionato in questo modo:
se $v in bigcap_(k in I_(n-m))H_k$ allora $forallk in I_(n-m), v in H_k => v=sum_(i in I_(n-m))(1-delta_(ik))lambda_(ij)v_i+sum_(i in I_m)mu_i w_i$
dove $delta_(ik)$ è la delta di Kronecker(l'ho messa per aggiungere il vettore $v_k$ in ogni somma) e pertanto dovrà essere
da cui per indipendenza lineare si avrà
basta fissare $j=1$ per avere per ogni $k in I_(n-m)$ che $(1-delta_(ik))lambda_(ik)=(1-delta_(i1))lambda_(i1)$ per ogni $i in I_(n-m)$ per ottenere che tutti i $lambda_(i1)$ sono nulli e quindi che $v in W$
di fatto $forallk in I_(n-m):kne1( i=k => 0=lambda_(k1))$ e ovviamente $lambda_(11)=0$
diciamo impostata così da anche un modo per trovare questi iperpiani.
Buonanotte
Mi è venuta in mente una cosa(un fatto abbastanza ovvio) che ho voluto dimostrare, fatemi sapere se secondo voi è corretta(penso di si).
indicherò con $H$ un generico iperpiano di uno spazio vettoriale e $I_t={n in NN: 1leqnleqt}$
Proposizione
sia $V$ un $K$ spazio vettoriale di dimensione $n$.
se $W$ è un sottospazio di dimensione $m$ allora esistono $n-m$ iperpiani di $V$ tali che $bigcap_(i in I_(n-m))H_i=W$
dimostrazione
lo faccio senza usare le equazioni cartesiane.
Supponiamo che $W=
pongo $S={w_1,...,w_m,v_1,...,v_(n-m)}$ e definisco i seguenti sottospazi
$forallk in I_(n-m), H_k:= $
si vuole mostrare che $W=bigcap_(k in I_(n-m))H_k$
la prima inclusione, ovvero $Wsubseteqbigcap_(k in I_(n-m))H_k$, è ovvia per definizione stessa degli iperpiani in quanto contengono ogni combinazione lineare dei vettori $w_1,...,w_m$
Per la seconda ho ragionato in questo modo:
se $v in bigcap_(k in I_(n-m))H_k$ allora $forallk in I_(n-m), v in H_k => v=sum_(i in I_(n-m))(1-delta_(ik))lambda_(ij)v_i+sum_(i in I_m)mu_i w_i$
dove $delta_(ik)$ è la delta di Kronecker(l'ho messa per aggiungere il vettore $v_k$ in ogni somma) e pertanto dovrà essere
$forallk,j in I_(n-m):kne j, sum_(i in I_(n-m))(1-delta_(ik))lambda_(ik)v_i+sum_(i in I_m)mu_(ik) w_i=sum_(i in I_(n-m))(1-delta_(ij))lambda_(ij)v_i+sum_(i in I_m)mu_(ij) w_i$
da cui per indipendenza lineare si avrà
$mu_(ij)=mu_(ik), forall i in I_m$ e $(1-delta_(ik))lambda_(ik)=(1-delta_(ij))lambda_(ij),forall i in I_(n-m)$
basta fissare $j=1$ per avere per ogni $k in I_(n-m)$ che $(1-delta_(ik))lambda_(ik)=(1-delta_(i1))lambda_(i1)$ per ogni $i in I_(n-m)$ per ottenere che tutti i $lambda_(i1)$ sono nulli e quindi che $v in W$
di fatto $forallk in I_(n-m):kne1( i=k => 0=lambda_(k1))$ e ovviamente $lambda_(11)=0$
diciamo impostata così da anche un modo per trovare questi iperpiani.
Buonanotte
Risposte
Non c'è alcun bisogno di fare tutta questa fatica e (soprattutto) di scrivere indici.
Prop.: Se $V$ ha dimensione finita $n$, ogni suo sottospazio $W$ di dimensione $k\le n$ è intersezione di $n-k$ iperpiani.
Dim.: Scegli una base di $W$ e completala a una base di $V$, diciamo \(\mathcal B = \{w_1,...,w_k,v_{k+1},...,v_n\}\). Prendi la base duale \(\mathcal B^* = \{w^1,...,w^k,v^{k+1},...,v^n\}\);
\[
W = \bigcap_{j=k+1}^{n} \ker v^i = \bigcap_{j=k+1}^n \langle v_i\rangle^\perp
\]
(ho messo l'ultima uguaglianza perché avete questa perniciosa abitudine di volere mettere la geometria nell'algebra).
Prop.: Se $V$ ha dimensione finita $n$, ogni suo sottospazio $W$ di dimensione $k\le n$ è intersezione di $n-k$ iperpiani.
Dim.: Scegli una base di $W$ e completala a una base di $V$, diciamo \(\mathcal B = \{w_1,...,w_k,v_{k+1},...,v_n\}\). Prendi la base duale \(\mathcal B^* = \{w^1,...,w^k,v^{k+1},...,v^n\}\);
\[
W = \bigcap_{j=k+1}^{n} \ker v^i = \bigcap_{j=k+1}^n \langle v_i\rangle^\perp
\]
(ho messo l'ultima uguaglianza perché avete questa perniciosa abitudine di volere mettere la geometria nell'algebra).
Da un lato mi è piaciuta, dall’altro usare ‘sti indici ha appesantito il tutto.
Se non ricordo male tu con $W^(_|_)$ intendi l’insieme dei funzionali costantemente nulli su $W$ giusto?
Se non ricordo male tu con $W^(_|_)$ intendi l’insieme dei funzionali costantemente nulli su $W$ giusto?
\(W^\perp\) è il sottospazio di \(V^*\) delle forme il cui nucleo contiene \(W\).
Perfetto ho compreso, mi piace.
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