Iperbole equilatera dato il centro, l'asintoto e la polare
Nel piano euclideo reale riferito ad un sistema di coordinate cartesiane:
1. Determinare l'equazione dell'iperbole equilatera I di centro C(2;0), asintoto $a_1$: x-y-2=0 e rispetto alla quale la retta r: x+1=0 è la polare del punto P=(0;1).
In questo esercizio sono proprio in panne totali nel senso che non so proprio da dove partire. In classe non abbiamo mai fatto esercizi di questo tipo e le dispense dicono solo che l'iperbole ha gli asintoti tra loro ortogonali, in un riferimento cartesiano soddisfa questa condizione: $a_{1,1]$+$a_{2,2}$=0, e che gli asintoti inoltre sono polari dei punti impropri e passano per il centro di tale conica.
1. Determinare l'equazione dell'iperbole equilatera I di centro C(2;0), asintoto $a_1$: x-y-2=0 e rispetto alla quale la retta r: x+1=0 è la polare del punto P=(0;1).
In questo esercizio sono proprio in panne totali nel senso che non so proprio da dove partire. In classe non abbiamo mai fatto esercizi di questo tipo e le dispense dicono solo che l'iperbole ha gli asintoti tra loro ortogonali, in un riferimento cartesiano soddisfa questa condizione: $a_{1,1]$+$a_{2,2}$=0, e che gli asintoti inoltre sono polari dei punti impropri e passano per il centro di tale conica.
Risposte
"glorietta":
Nel piano euclideo reale riferito ad un sistema di coordinate cartesiane:
1. Determinare l'equazione dell'iperbole equilatera I di centro C(2;0), asintoto $a_1$: x-y-2=0 e rispetto alla quale la retta r: x+1=0 è la polare del punto P=(0;1).
Allora un asintoto è $x-y-2=0$, l'altro deve passare dal centro $C(2;0)$ e deve essere perpendicolare
all'altro (l'iperbole è equilatera). Quindi la sua equazione è $x+y-2=0$.
Puoi scrivere il fascio di iperboli equilatere in questo modo:
$(x-y-2)*(x+y-2) = \lambda$
poi sfrutti l'ultima condizione.
"franced":
[quote="glorietta"]Nel piano euclideo reale riferito ad un sistema di coordinate cartesiane:
1. Determinare l'equazione dell'iperbole equilatera I di centro C(2;0), asintoto $a_1$: x-y-2=0 e rispetto alla quale la retta r: x+1=0 è la polare del punto P=(0;1).
Allora un asintoto è $x-y-2=0$, l'altro deve passare dal centro $C(2;0)$ e deve essere perpendicolare
all'altro (l'iperbole è equilatera). Quindi la sua equazione è $x+y-2=0$.
Puoi scrivere il fascio di iperboli equilatere in questo modo:
$(x-y-2)*(x+y-2) = \lambda$
poi sfrutti l'ultima condizione.[/quote]
Ho fatto i calcoli ma viene impossibile, dal momento che la polare del punto $(0,1)$ è
la retta
$-2 x - y + 4 - \lambda = 0$ .
Non è possibile scegliere il parametro $\lambda$ in modo che il risultato sia quello voluto.
Secondo me c'è un errore nel testo, forse il punto non è $(0,1)$ ma $(1,0)$ .
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