Invertibilità applicazione lineare L e trovare ImL

[zipangulu]

Premetto che di algebra lineare sono totalmente ignorante,sono ancora alle prime armi e mi destreggio piuttosto male
Ho il seguente esercizio:
Stabilire se esistono valori del parametro reale k per i quali la seguente applicazione lineare
$L : R^3->R^3$
$L(x,y,z)=(2kx+2y,8x+2ky+(k-2)z,2x+(k-1)y)$
risulta non invertibile ed in tali eventuali casi determinare $ImL$.

Io ho ragionato così:
Considero la matrice associata:
$M= | ( 2k , 2 , 0 ),( 8 , 2k , k-2 ),( 2 , k-1 , 0 ) | $
calcolando il determinante di essa trovo che vale:
$detM=-k^2+3k^2-4$
ora pongo il determinante uguale a zero trovando così per quali valori l'applicazione $L$ non è invertibile:
$-k^2+3k^2-4=0 -> k^2-3k^2+4=0$
che può essere scomposta in:
$(k+1)(k-2)^2=0$
quindi
trovo che l'applicazione $L$ nn è invertibile per:
$k=-1$
$k=2$

ora sorge il mio problema,come calcolo $ImL$ per questi valori?
mi aiutate per favore?

[cirasa]

Dalla teoria: Se $L:V\to W$ è un'applicazione lineare fra due spazi vettoriali e $V$ è di dimensione finita, l'immagine di $L$ è il sottospazio di $W$ generato dai vettori $L(e_1), L(e_2), ... , L(e_n)$ dove $(e_1,e_2,...,e_n)$ è una base di $V$.

Nel tuo caso, prendi una base di $RR^3$ (per esempio la base canonica), calcoli l'immagine di ognuno dei tre vettori.
Lo spazio generato dai tre vettori ottenuto è l'immagine di $L$.


P.S. Non ho controllato i conti che hai fatto, l'idea comunque è buona...