Inversione per raggi reciproci
Ciao a tutti.
Qualcuno potrebbe spiegarmi cosa è l'inversione per raggi reciproci?
Ho provato a cercare in internet ma mi ha oscurato le idee e non so perchè ma mi viene da confonderla con la potenza di un punto rispetto ad una circonferenza. Chiedo il vostro aiuto per capirlo. Grazie.
Qualcuno potrebbe spiegarmi cosa è l'inversione per raggi reciproci?
Ho provato a cercare in internet ma mi ha oscurato le idee e non so perchè ma mi viene da confonderla con la potenza di un punto rispetto ad una circonferenza. Chiedo il vostro aiuto per capirlo. Grazie.
Risposte
Non sono sicuro stiamo parlando della stessa cosa. Ed è passato anche qualche anno da quando ho sentito parlare di queste cose. Spero di non dire fesserie.
Io ho sentito parlare della cosiddetta involuzione dei diametri coniugati...forse si tratta della stessa cosa...
Se hai una conica non degenere a centro nel piano proiettivo, puoi considerare il fascio $F(C)$ di rette passanti per il centro $C$.
$F(C)$ ha struttura di retta geometrica proiettiva.
L'applicazione $\omega:F(C)\to F(C)$ che associa ad ogni diametro $d$ la retta $[C,D_\infty]$ essendo $D_\infty$ il polo (improprio) del diametro $d$.
Si dimostra che $\omega$ è una involuzione, detta appunto involuzione dei diametri coniugati.
Per curiosità: cosa intendi per "potenza di un punto rispetto ad una circonferenza"?
Io ho sentito parlare della cosiddetta involuzione dei diametri coniugati...forse si tratta della stessa cosa...
Se hai una conica non degenere a centro nel piano proiettivo, puoi considerare il fascio $F(C)$ di rette passanti per il centro $C$.
$F(C)$ ha struttura di retta geometrica proiettiva.
L'applicazione $\omega:F(C)\to F(C)$ che associa ad ogni diametro $d$ la retta $[C,D_\infty]$ essendo $D_\infty$ il polo (improprio) del diametro $d$.
Si dimostra che $\omega$ è una involuzione, detta appunto involuzione dei diametri coniugati.
Per curiosità: cosa intendi per "potenza di un punto rispetto ad una circonferenza"?
Quello che mi hai detto riguardo l'inversione per diametri coniugati se non ho capito male significa che io considero, nel piano proiettivo, il fascio di rette per il centro e costruisco la mia proiettività prendendo una retta del fascio e associandole la polare di un suo punto all'infinito?
Non so se ciò che ho chiesto io cioè l'inversione per raggi reciproci corrisponda a questa inversione dei diametri coniugati. Ho visto in internet però che c'è chi chiama questa inversione per raggi reciproci come inversione circolare e magari anche tu la conosci con questo nome. Nel caso la conoscessi ti sarei grato se me la spiegassi.
Per quanto riguarda la potenza di un punto rispetto ad una circonferenza mi riferisco al prodotto scalare costante tra un punto che chiamo $P$ e i due punti $A$ e $B$ di intersezione di una retta secante alla circonferenza e passante per $P$ o meglio in formule $-<$ $PA,PB$$>-$.
Non so se ciò che ho chiesto io cioè l'inversione per raggi reciproci corrisponda a questa inversione dei diametri coniugati. Ho visto in internet però che c'è chi chiama questa inversione per raggi reciproci come inversione circolare e magari anche tu la conosci con questo nome. Nel caso la conoscessi ti sarei grato se me la spiegassi.
Per quanto riguarda la potenza di un punto rispetto ad una circonferenza mi riferisco al prodotto scalare costante tra un punto che chiamo $P$ e i due punti $A$ e $B$ di intersezione di una retta secante alla circonferenza e passante per $P$ o meglio in formule $-<$ $PA,PB$$>-$.
Quindi non stiamo parlando della stessa cosa...
L'inversione circolare è qualcosa di diverso rispetto all'inversione dei diametri coniugati di cui ho parlato io.
A dir la verità non ti saprei dire niente di più di quello che già si legge nella relativa pagina di Wikipedia (eventualmente cerca anche un po' nella corrispondente pagina in inglese).
L'inversione circolare è qualcosa di diverso rispetto all'inversione dei diametri coniugati di cui ho parlato io.
A dir la verità non ti saprei dire niente di più di quello che già si legge nella relativa pagina di Wikipedia (eventualmente cerca anche un po' nella corrispondente pagina in inglese).
"Lory90":No, ad ogni retta $r$ del fascio la retta (il cui polo è $R_\infty$) associa la retta che unisce il centro con $R_\infty$.
Quello che mi hai detto riguardo l'inversione per diametri coniugati se non ho capito male significa che io considero, nel piano proiettivo, il fascio di rette per il centro e costruisco la mia proiettività prendendo una retta del fascio e associandole la polare di un suo punto all'infinito?
Vedi i links esterni delle pagine francese e inglese in wiki, c'è materiale anche grafico in jawa, http://it.wikipedia.org/wiki/Inversione_circolare
Ciao
Ciao
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