Inversione Circolare

[maria.mosca2898]

Ho una domanda, nel piano complesso quando eseguo l'inversione circolare di rette non passanti per l'origine esse si trasformano in circonferenze che passano per l'origine. E fin qui tutto bene.

Se ho tre rette di questo che si intersecano formando un triangolo, quando eseguo l'inversione ottengo tre circonferenze. Ma come capisco se i punti interni al triangolo sono stati riflessi dentro le circonferenze o fuori?

[spugna2]

Puoi vedere il triangolo come intersezione di tre semipiani: a questo punto basta osservare che, detto $O$ il centro dell'inversione che definisce l'inversione, un semipiano viene mandato nell'interno della circonferenza corrispondente se e solo se non contiene $O$.

[maria.mosca2898]

Quindi se i tre lati del triangolo non passano per l'origine, i punti interni del triangolo riflesso sarebbero quelli interni alle circonferenze?

[maria.mosca2898]

anzi no

[maria.mosca2898]

ad esempio se io ho i tre lati del triangolo definiti dalle rette
r1: (1-4i)z+(1+4i)z^coniugato - 4 = 0
r2: z+z^coniugato + 4 = 0
r3: (1+4i)z+(i-4i)z^coniugato -4 = 0
e i punti interni al triangolo li ricavo ponendo :
r1<0
r2>0
r3>0
Se questi tre semipiani, presi singolarmente contengono l'origine, allora quando li rifletto i punti interni delle tre circonferenze sono in realtà quelli esterni?

[spugna2]

Esatto! Se invece l'origine è fuori dal triangolo, otterrai una regione limitata, che però non è necessariamente quella interna a tutte e tre le circonferenze (anzi, dovrebbe non esserlo mai). Un altro modo potrebbe essere prendere un punto a caso dentro al triangolo e guardare dove cade il suo inverso... oppure ancora: le tre circonferenze dividono il piano in sette regioni, e quella corrispondente all'interno del triangolo è l'unica che non "tocca" l'origine.