Inversa uguale

[mensola1]

Se ho [tex]A \in M_{4,4}[/tex] e:
[tex]AA=I[/tex]
Significa che [tex]A=A^{-1}[/tex] ma anche che [tex]A = \mathrm{id}_{M}[/tex], ovvero che A è uguale alla matrice identica?
Se no, cosa è, allora, A?

[mistake89]

Direi di no.
Prendi in $M_2(RR)$ la matrice $((-1,0),(0,1))$. Non è la matrice identità eppure coincide con l'inversa e il suo quadrato è $I_2$

[mensola1]

Si ma cosa posso dire su questa matrice?
Posso almeno dire che è una matrice diagonale, o qualcosa del genere?

[angus89]

Dipende da cosa vuoi dire...una cosa molto bella ad esempio è se devi risolvere un sistema lineare

$Ax=b$

la soluzione sarà

$b=Ax$

ed è una cosa molto bella...

Chiaramente il suo nucleo è banale...
Che altro...dipende da quello che vuoi dimostrare...
Che sia diagonale no..

hint: prova a prendere la matrice $A$ che ha scritto mistake89 e prova a prendere una matrice invertibile $S$ e calcola $C=S^-1 A S$
E guarda che questa matrice continua ad avere come inversa se stessa...

Cosa puoi fare....bah...sarà mica diagonalizzabile? (non ne sono sicuro, anzi, al contrario...)