Inversa di una matrice
Esistono vari modi per calcolare l'inversa di una matrice:
- (1/detA)aggiuntaA
- algoritmo di gauss-jordan
- sistema lineare
qualcuno mi può spiegare come si trova una l'inversa di una matrice con il sistema lineare?
- (1/detA)aggiuntaA
- algoritmo di gauss-jordan
- sistema lineare
qualcuno mi può spiegare come si trova una l'inversa di una matrice con il sistema lineare?
Risposte
Boh, sinceramente non mi è mai capitato di trovare la matrice inversa con un sistema lineare, nè qualcuno me ne ha mai parlato.
Immagino, però, che sia una cosa del genere, anche se non sono così sicuro che si tratti proprio di questo.
Trovare la matrice inversa $B$ di $A$ (quadrata di ordine $n$) significa trovare le colonne $b_1,...,b_n$ di $B$.
Dire che $AB=I$ è equivalente a dire che per ogni $i=1,...,n$ la colonna $b_i$ è soluzione del sistema
(*) $Ax=e_i$
dove $e_i$ è l'$i$-esimo vettore colonna della base canonica di $RR^n$ (prendiamo matrici reali).
Quindi per trovare la matrice inversa $B$ si risolvono gli $n$ sistemi lineari (*).
Non so se ti riferisci proprio a questo. Questo è certamente un modo (certamente estremamente noioso, se fatto "a mano"
) di trovare l'inversa di una matrice.
Immagino, però, che sia una cosa del genere, anche se non sono così sicuro che si tratti proprio di questo.
Trovare la matrice inversa $B$ di $A$ (quadrata di ordine $n$) significa trovare le colonne $b_1,...,b_n$ di $B$.
Dire che $AB=I$ è equivalente a dire che per ogni $i=1,...,n$ la colonna $b_i$ è soluzione del sistema
(*) $Ax=e_i$
dove $e_i$ è l'$i$-esimo vettore colonna della base canonica di $RR^n$ (prendiamo matrici reali).
Quindi per trovare la matrice inversa $B$ si risolvono gli $n$ sistemi lineari (*).
Non so se ti riferisci proprio a questo. Questo è certamente un modo (certamente estremamente noioso, se fatto "a mano"
) di trovare l'inversa di una matrice.
Trovare l'inversa con $n$ sistemi è, in pratica, il metodo di Gauss-Jordan.
In effetti facendo una ricerca su internet non ho trovato nulla, quindi non mi resta che chiedere al prof lunedì
cmq grazie mille per il tuo tempo
cmq grazie mille per il tuo tempo
Ti faccio un esempio.
Trovare l'inversa della matrice $A = ((1,2,3),(4,5,2),(1,-1,1))$.
Risolvi il sistema lineare
$((1,2,3),(4,5,2),(1,-1,1)) ((x),(y),(z)) = ((1),(0),(0))$
le soluzioni $x,y,z$ vanno messe nella prima colonna di $A^(-1)$ ;
poi risolvi il sistema
$((1,2,3),(4,5,2),(1,-1,1)) ((x),(y),(z)) = ((0),(1),(0))$
le soluzioni $x,y,z$ vanno messe nella seconda colonna di $A^(-1)$ ;
infine risolvi il sistema
$((1,2,3),(4,5,2),(1,-1,1)) ((x),(y),(z)) = ((0),(0),(1))$
le soluzioni vanno messe nella terza colonna di $A^(-1)$ .
Trovare l'inversa della matrice $A = ((1,2,3),(4,5,2),(1,-1,1))$.
Risolvi il sistema lineare
$((1,2,3),(4,5,2),(1,-1,1)) ((x),(y),(z)) = ((1),(0),(0))$
le soluzioni $x,y,z$ vanno messe nella prima colonna di $A^(-1)$ ;
poi risolvi il sistema
$((1,2,3),(4,5,2),(1,-1,1)) ((x),(y),(z)) = ((0),(1),(0))$
le soluzioni $x,y,z$ vanno messe nella seconda colonna di $A^(-1)$ ;
infine risolvi il sistema
$((1,2,3),(4,5,2),(1,-1,1)) ((x),(y),(z)) = ((0),(0),(1))$
le soluzioni vanno messe nella terza colonna di $A^(-1)$ .
"franced":
Trovare l'inversa con $n$ sistemi è, in pratica, il metodo di Gauss-Jordan.
So che è solo una questione di nomi, quindi niente di importante, però io pensavo al metodo di Gauss-Jordan come a quello descritto qui su Wikipedia alla voce "algoritmo di Gauss-Jordan".
Ecco il motivo per cui lo distinguevo da quello precedente con $n$ sistemi.
"cirasa":
[quote="franced"]Trovare l'inversa con $n$ sistemi è, in pratica, il metodo di Gauss-Jordan.
So che è solo una questione di nomi, quindi niente di importante, però io pensavo al metodo di Gauss-Jordan come a quello descritto qui su Wikipedia alla voce "algoritmo di Gauss-Jordan".
Ecco il motivo per cui lo distinguevo da quello precedente con $n$ sistemi.[/quote]
In pratica con l'algoritmo Gauss-Jordan questi $n$ sistemi vengono risolti "in parallelo".
Comunque voglio far osservare l'importanza di poter risolvere autonomamente questi $n$ sistemi:
mi ricordo che nell'algoritmo del simplesso (ricerca operativa) bastava calcolare solo una certa
colonna dell'inversa.
Tutti, tranne il sottoscritto, calcolarono tutta la matrice inversa, io feci solo un sistema..
"franced":
In pratica con l'algoritmo Gauss-Jordan questi $n$ sistemi vengono risolti "in parallelo".
Giusto, in effetti, si tratta della stessa cosa. Grazie per avermelo ricordato.
Un altro metodo è quello che sfrutta il polinomio caratteristico della matrice.
Esempio:
la matrice $A = ((1,2),(3,4))$ ha polinomio caratteristico
$p(lambda) = lambda^2 - 5 lambda - 2$ ;
quindi, per Hamilton-Cayley abbiamo
$A^2 - 5 A - 2 I = 0$
moltiplicando per $A^(-1)$ abbiamo
$A - 5 I - 2 A^(-1) = 0$
da cui
$A^(-1) = 1/2 * (A - 5 I)$
quindi
$A^(-1) = 1/2 * ((1-5,2),(3,4-5)) = 1/2 * ((-4,2),(3,-1)) = ((-2,1),(3/2,-1/2))$ .
Esempio:
la matrice $A = ((1,2),(3,4))$ ha polinomio caratteristico
$p(lambda) = lambda^2 - 5 lambda - 2$ ;
quindi, per Hamilton-Cayley abbiamo
$A^2 - 5 A - 2 I = 0$
moltiplicando per $A^(-1)$ abbiamo
$A - 5 I - 2 A^(-1) = 0$
da cui
$A^(-1) = 1/2 * (A - 5 I)$
quindi
$A^(-1) = 1/2 * ((1-5,2),(3,4-5)) = 1/2 * ((-4,2),(3,-1)) = ((-2,1),(3/2,-1/2))$ .
Risoltoooooo 
Praticamente sarebbe l'algoritmo di gauss-jordan però applicato in forma di sistema.
Ho la matrice
$A[[1,2,0],[1,0,-1],[0,1,1]]$
Ora faccio il sistema:
$\{(x+2y+0=x^1),(x+0-z=y^1),(0+y+z=z^1):}$
svolgendo il sistema con lo stesso procedimento dell'algoritmo di gauss-jordan tramite operazioni elementari, arrivo ad avere:
$\{(x=-x^1+2y^1+2z^1),(y=x^1-y^1-z^1),(z=-x^1+y^1+2z^1):}$
Quindi la matrice inversa sarà:
$A^-1[[-1,2,2],[1,-1,-1],[-1,1,2]]$
Praticamente sarebbe l'algoritmo di gauss-jordan però applicato in forma di sistema.
Ho la matrice
$A[[1,2,0],[1,0,-1],[0,1,1]]$
Ora faccio il sistema:
$\{(x+2y+0=x^1),(x+0-z=y^1),(0+y+z=z^1):}$
svolgendo il sistema con lo stesso procedimento dell'algoritmo di gauss-jordan tramite operazioni elementari, arrivo ad avere:
$\{(x=-x^1+2y^1+2z^1),(y=x^1-y^1-z^1),(z=-x^1+y^1+2z^1):}$
Quindi la matrice inversa sarà:
$A^-1[[-1,2,2],[1,-1,-1],[-1,1,2]]$
E' sempre la stessa "zuppa"!
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