Invarianza ed endomorfismi simmetrici
Buongiorno a tutti!
qualcuno potrebbe spiegarmi perchè la funzione f|w : W-> W è un endomorfismo simmetrico se e solo se W è invariante? che cosa implica questa invarianza?
Inoltre, dalla dimostrazione per assurdo del teorema spettrale, preso A=A1+...+Ak somma di autospazi di dimensione minore di n (siamo in R^n), completo la base aggiungendo vettori di un autospazio W che scopriremo essere uguale all'ortogonale di A. d cosa deduciamo a questo punto che W è invariante?
Grazie mille e scusate il disturbo
qualcuno potrebbe spiegarmi perchè la funzione f|w : W-> W è un endomorfismo simmetrico se e solo se W è invariante? che cosa implica questa invarianza?
Inoltre, dalla dimostrazione per assurdo del teorema spettrale, preso A=A1+...+Ak somma di autospazi di dimensione minore di n (siamo in R^n), completo la base aggiungendo vettori di un autospazio W che scopriremo essere uguale all'ortogonale di A. d cosa deduciamo a questo punto che W è invariante?
Grazie mille e scusate il disturbo
Risposte
ciao e ben iscritto/a!
ti rispondo ma non ti rispondo in realtà!
1. per il tuo primo dubbio non ti saprei aiutare, non avevo mai visto questa proposizione. sei sicuro sia proprio quella?
2. dire W invariante è a mio avviso poco preciso: è più corretto dire che è f-invariante (f endomorfismo)
3. che dimostrazione conosci? io quella per assurdo non l'ho mai fatta (ho sempre fatto quella per induzione) ma se posti la tua dimostrazione posso provare ad aiutarti!
ti rispondo ma non ti rispondo in realtà!
1. per il tuo primo dubbio non ti saprei aiutare, non avevo mai visto questa proposizione. sei sicuro sia proprio quella?
2. dire W invariante è a mio avviso poco preciso: è più corretto dire che è f-invariante (f endomorfismo)
3. che dimostrazione conosci? io quella per assurdo non l'ho mai fatta (ho sempre fatto quella per induzione) ma se posti la tua dimostrazione posso provare ad aiutarti!
Allora,
data A somma di autospazi, dimA=m con m
spero tu abbia capito la dimostrazione!
data A somma di autospazi, dimA=m con m
spero tu abbia capito la dimostrazione!
credo di aver capito. in futuro però metti le formule tra il simbolo $ così da renderle più leggibili 
faccio prima un po' di chiarezza sulle notazioni ed espongo bene le ipotesi.. mi pare tu stia cercando di dimostrare che se f è simmetrico allora ha una base ortonormale di autovettori (in $RR$).
dato $A=V_(lambda_1) o+ ... o+ V_(lambda_m)$
inoltre $W=A^(_|_)$
ciò che ti sfugge è perchè W sia f-invariante.
vale il seguente:
sapendo questo è facile continuare: poichè nel tuo teorema sai che f è autoaggiunto (in $RR$ infatti simmetrico=autoaggiunto) e poichè A è f-invariante, allora per il teorema lo è anche W.
faccio prima un po' di chiarezza sulle notazioni ed espongo bene le ipotesi.. mi pare tu stia cercando di dimostrare che se f è simmetrico allora ha una base ortonormale di autovettori (in $RR$).
dato $A=V_(lambda_1) o+ ... o+ V_(lambda_m)$
inoltre $W=A^(_|_)$
ciò che ti sfugge è perchè W sia f-invariante.
vale il seguente:
Teorema
Sia (V, <,>) uno spazio euclideo di dimensione finita e sia $f in L(V)$ un operatore autoaggiunto. allora un sottospazio vettoriale W di V è f-invariante se e solo se $W^(_|_)$ è f-invariante.
sapendo questo è facile continuare: poichè nel tuo teorema sai che f è autoaggiunto (in $RR$ infatti simmetrico=autoaggiunto) e poichè A è f-invariante, allora per il teorema lo è anche W.
Tutto chiaro! mi era sfuggito questo teorema:
Grazie mille Cooper
Grazie mille Cooper
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo