Invarianza di omeomorfismi sui quozienti
Nel mentre che facevo esercizi di topologia mi è venuto in mente che poteva essere utile usare il seguente fatto (probabilmente noto a molti, molto intuitivo però non sapevo se fosse matematicamente vero e quindi ho provato a dimostrarlo):
Sia $f:X->Y$ un omeomorfismo, definiamo su $X$ una relazione di equivalenza $∼_1$ e su $Y$ una relazione di equivalenza $∼_2$ tali che $x_1∼_1x_2$ (in $X$) se e solo se $f(x_1)∼_2f(x_2)$, allora $f$ induce un omeomorfismo su $X//∼_1$ e $Y//∼_2$.
Sia $pi_1:X->X//∼_1$ la proiezione sul quoziente di $X$ e $pi_2:Y->Y//∼_2$ la proiezione sul quoziente di $Y$. Abbiamo che la funzione $pi_2\circf:X->Y//∼_2$ è continua, inoltre presi $x_1∼_1x_2$ (in $X$) si ha che $f(x_1)∼_2f(x_2)$ e allora $(pi_2\circf)(x_1)=(pi_2\circf)(x_2)$ per cui $pi_2\circf$ è costante sulle classi di $∼_1$-equivalenza e perciò induce una funzione $\bar f:X//∼_1->Y//∼_2$ continua tale che $\bar (f)([x])=[f(x)]$.
Abbiamo che la funzione $pi_1\circf^-1:Y->X//∼_1$ è continua, inoltre presi $y_1∼_2y_2$ (in $Y$), si ha che $EEx_1,x_2inX$ tali che $y_1=f(x_1)$ e $y_2=f(x_2)$ per cui si ha $f(x_1)∼_2f(x_2)$ da cui $x_1∼_1x_2$ e allora $(pi_1\circf^-1)(y_1)=(pi_1\circf^-1)(y_2)$ per cui $pi_1\circf^-1$ è costante sulle classi di $∼_2$-equivalenza e perciò induce una funzione $\bar f^-1:Y//∼_2->X//∼_1$ continua tale che $\bar (f)^-1([y])=[f^-1(y)]$.
Ora basta mostrare che $\bar f$ e $\bar f^-1$ sono una l'inversa dell'altra:
$(\bar f\circ\bar f^-1)([y])=[(f\circf^-1)(y)]=[y]$
$(\bar f^-1\circ\bar f)([x])=[(f^-1\circf)(x)]=[x]$
Per cui ottengo l'omeomorfismo $\bar f:X//∼_1->Y//∼_2$ definito come $\bar (f)([x])=[f(x)]$.
E' molto intuitiva come cosa ma mi pare utile dimostrarlo cosi da poter capire meglio alcuni quozienti attraverso spazi omeomorfi più semplici ed dato che trovare omeomorfismi tra quozienti di solito non è facile ne intuitivamente ne da dimostrare forse questo può dare un piccolo aiuto, comunque fatemi sapere cosa ne pensate e se non ci sono errori, grazie
Sia $f:X->Y$ un omeomorfismo, definiamo su $X$ una relazione di equivalenza $∼_1$ e su $Y$ una relazione di equivalenza $∼_2$ tali che $x_1∼_1x_2$ (in $X$) se e solo se $f(x_1)∼_2f(x_2)$, allora $f$ induce un omeomorfismo su $X//∼_1$ e $Y//∼_2$.
Sia $pi_1:X->X//∼_1$ la proiezione sul quoziente di $X$ e $pi_2:Y->Y//∼_2$ la proiezione sul quoziente di $Y$. Abbiamo che la funzione $pi_2\circf:X->Y//∼_2$ è continua, inoltre presi $x_1∼_1x_2$ (in $X$) si ha che $f(x_1)∼_2f(x_2)$ e allora $(pi_2\circf)(x_1)=(pi_2\circf)(x_2)$ per cui $pi_2\circf$ è costante sulle classi di $∼_1$-equivalenza e perciò induce una funzione $\bar f:X//∼_1->Y//∼_2$ continua tale che $\bar (f)([x])=[f(x)]$.
Abbiamo che la funzione $pi_1\circf^-1:Y->X//∼_1$ è continua, inoltre presi $y_1∼_2y_2$ (in $Y$), si ha che $EEx_1,x_2inX$ tali che $y_1=f(x_1)$ e $y_2=f(x_2)$ per cui si ha $f(x_1)∼_2f(x_2)$ da cui $x_1∼_1x_2$ e allora $(pi_1\circf^-1)(y_1)=(pi_1\circf^-1)(y_2)$ per cui $pi_1\circf^-1$ è costante sulle classi di $∼_2$-equivalenza e perciò induce una funzione $\bar f^-1:Y//∼_2->X//∼_1$ continua tale che $\bar (f)^-1([y])=[f^-1(y)]$.
Ora basta mostrare che $\bar f$ e $\bar f^-1$ sono una l'inversa dell'altra:
$(\bar f\circ\bar f^-1)([y])=[(f\circf^-1)(y)]=[y]$
$(\bar f^-1\circ\bar f)([x])=[(f^-1\circf)(x)]=[x]$
Per cui ottengo l'omeomorfismo $\bar f:X//∼_1->Y//∼_2$ definito come $\bar (f)([x])=[f(x)]$.
E' molto intuitiva come cosa ma mi pare utile dimostrarlo cosi da poter capire meglio alcuni quozienti attraverso spazi omeomorfi più semplici ed dato che trovare omeomorfismi tra quozienti di solito non è facile ne intuitivamente ne da dimostrare forse questo può dare un piccolo aiuto, comunque fatemi sapere cosa ne pensate e se non ci sono errori, grazie
Risposte
Ciao, va bene. (Magari è forse meglio distinguere le parentesi quadre, tipo \([\phantom\square]_1\) e \([\phantom\square]_2\).)
Un piccolo appunto...
Il tuo discorso è su due livelli diciamo: una parte del lavoro è roba da teoria degli insiemi, un altro pezzo è novità degli spazi topologici.
Proposizione. Siano \(X\) e \(Y\) due insiemi con relazioni di equivalenza \(\sim_1\) e \(\sim_2\) rispettivamente, come nel tuo caso. Consideriamo anche una funzione \(f : X \to Y\) che preserva l'equivalenza, cioè \(f(a) \sim_2 f(b)\) per ogni \(a, b \in X\) tale che \(a \sim_1 b\). Chiamiamo \(\pi_1 : X \to X{/}{\sim_1}\) e \(\pi_2 : Y \to Y{/}{\sim_2}\) le proiezioni canoniche. Allora esiste una e una sola funzione \(g : X{/}{\sim_1} \to Y{/}{\sim_2}\) tale che \(g \circ \pi_1 = \pi_2 \circ f\).
(Non funziona più \xymatrix?...)
(Se hai voglia, inventati una categoria e un funtore verso \(\mathbf{Set}\) che riassume tutta questa proposizione...)
Tornando a noi, riesci a dimostrare la proposizione di sopra? Bene, perché questo giro? Uno spazio topologico è un insieme con struttura, una funzione continua è una funzione con una certa proprietà, la topologia sui quozienti è quella che tu sai.
(Se ha voglia, riusciresti ad inventarti una categoria e un funtore verso \(\mathbf{Top}\) che fa come quello di sopra? Che poi i funtori preservano gli isomorfismi, quindi, uno potrebbe anche concludere qui. Che poi sotto sotto, è quello che hai fatto tu.)
Continuiamo.
Proposizione, seconda parte. Inoltre: \(g\) è suriettiva se e solo se \(f\) lo è; se per ogni \(a, b \in X\) si ha che \(f(a) \sim_2 f(b)\) implica che \(a \sim_1 b\), allora \(g\) è pure iniettiva.
In questo caso c'è bisogno di un po' di cura, per provare che la funzione continua \(g\) indotta sia un omeomorfismo, ma ce la fai tranquillamente.
Un piccolo appunto...
Il tuo discorso è su due livelli diciamo: una parte del lavoro è roba da teoria degli insiemi, un altro pezzo è novità degli spazi topologici.
Proposizione. Siano \(X\) e \(Y\) due insiemi con relazioni di equivalenza \(\sim_1\) e \(\sim_2\) rispettivamente, come nel tuo caso. Consideriamo anche una funzione \(f : X \to Y\) che preserva l'equivalenza, cioè \(f(a) \sim_2 f(b)\) per ogni \(a, b \in X\) tale che \(a \sim_1 b\). Chiamiamo \(\pi_1 : X \to X{/}{\sim_1}\) e \(\pi_2 : Y \to Y{/}{\sim_2}\) le proiezioni canoniche. Allora esiste una e una sola funzione \(g : X{/}{\sim_1} \to Y{/}{\sim_2}\) tale che \(g \circ \pi_1 = \pi_2 \circ f\).
(Non funziona più \xymatrix?...)
(Se hai voglia, inventati una categoria e un funtore verso \(\mathbf{Set}\) che riassume tutta questa proposizione...)
Tornando a noi, riesci a dimostrare la proposizione di sopra? Bene, perché questo giro? Uno spazio topologico è un insieme con struttura, una funzione continua è una funzione con una certa proprietà, la topologia sui quozienti è quella che tu sai.
(Se ha voglia, riusciresti ad inventarti una categoria e un funtore verso \(\mathbf{Top}\) che fa come quello di sopra? Che poi i funtori preservano gli isomorfismi, quindi, uno potrebbe anche concludere qui. Che poi sotto sotto, è quello che hai fatto tu.)
Continuiamo.
Proposizione, seconda parte. Inoltre: \(g\) è suriettiva se e solo se \(f\) lo è; se per ogni \(a, b \in X\) si ha che \(f(a) \sim_2 f(b)\) implica che \(a \sim_1 b\), allora \(g\) è pure iniettiva.
In questo caso c'è bisogno di un po' di cura, per provare che la funzione continua \(g\) indotta sia un omeomorfismo, ma ce la fai tranquillamente.
Data una qualsiasi funzione (su insiemi) suriettiva \(\pi \colon X \twoheadrightarrow Q,\) puoi costruire una relazione di equivalenza \(\sim\) su \(X\) data da \(x_1 \sim x_2 \Leftrightarrow \pi(x_1) = \pi(x_2)\). È abbastanza immediato dimostrare l'isomorfismo (tra insiemi) \(Q \cong X/{\sim}\) che associa la classe di equivalenza \([x]\) a \(\pi(x)\). In \(\mathbf{Set}\) ogni funzione suriettiva è quindi una proiezione su un quoziente.
Questo non è il caso in \(\mathbf{Top}\). La principale ragione è che data una funzione suriettiva tra insiemi \(\pi \colon X \twoheadrightarrow Q\) e una topologia su \(X,\) possiamo scegliere diverse topologie su \(Y\) che rendono questa funzione continua. Solo una di queste è la topologia quoziente (quella più fine). Hai probabilmente visto la definizione per cui un insieme \(U \subseteq Q\) è aperto solo quando \(f^{-1}(U)\) è aperto. Un'altra definizione è la seguente. Una funzione continua suriettiva \(\pi \colon X \twoheadrightarrow Q\) è una proiezione su un quoziente se e solo se per ogni spazio topologico \(Z\) e funzione \(f \colon Q \to Z,\) \(f\) è continua se e solo se \(f \circ \pi\) lo è.
Quest'ultima caratterizzazione rende il tuo teorema immediato. \(\pi_2 \circ f\) e \(\pi_1\) inducono la stessa relazione su \(X\) per definizione e quindi \(X/{\sim_1} \cong Y/{\sim_2}\) sono isomorfi come insiemi. Stesso discorso se partiamo da \(Y\). Entrambe le funzioni dell'isomorfismo sono inoltre continue per il fatto che \(\pi_2 \circ f\) e \(\pi_1 \circ f^{-1}\) sono entrambe continue.
Questo non è il caso in \(\mathbf{Top}\). La principale ragione è che data una funzione suriettiva tra insiemi \(\pi \colon X \twoheadrightarrow Q\) e una topologia su \(X,\) possiamo scegliere diverse topologie su \(Y\) che rendono questa funzione continua. Solo una di queste è la topologia quoziente (quella più fine). Hai probabilmente visto la definizione per cui un insieme \(U \subseteq Q\) è aperto solo quando \(f^{-1}(U)\) è aperto. Un'altra definizione è la seguente. Una funzione continua suriettiva \(\pi \colon X \twoheadrightarrow Q\) è una proiezione su un quoziente se e solo se per ogni spazio topologico \(Z\) e funzione \(f \colon Q \to Z,\) \(f\) è continua se e solo se \(f \circ \pi\) lo è.
Quest'ultima caratterizzazione rende il tuo teorema immediato. \(\pi_2 \circ f\) e \(\pi_1\) inducono la stessa relazione su \(X\) per definizione e quindi \(X/{\sim_1} \cong Y/{\sim_2}\) sono isomorfi come insiemi. Stesso discorso se partiamo da \(Y\). Entrambe le funzioni dell'isomorfismo sono inoltre continue per il fatto che \(\pi_2 \circ f\) e \(\pi_1 \circ f^{-1}\) sono entrambe continue.
Grazie ragazzi, risponderò per bene dopo la sessione estiva perchè non ho molto tempo per farlo, quindi vi farò sapere dopo, grazie di nuovo
@apatriarca
Anche con la definizione di sopra, la dimostrazione si scrive in due righe.
Anche con la definizione di sopra, la dimostrazione si scrive in due righe.
@Idrjo Dedej
Dici quello che hai scritto nel tuo post? È certamente tutto valido, il mio post non era una risposta al tuo approccio, ma solo un metodo alternativo di vedere il problema e i quozienti con l'obiettivo di mostrare un difetto nella dimostrazione di @andreadel1988.
@andreadel1988
Parte dell'obiettivo del mio post (che avrei probabilmente dovuto chiarire meglio) è che la continuità delle funzioni non è automatica, ma segue dalla particolare scelta di topologia sullo spazio quoziente. La tua dimostrazione è solo insiemistica. Se sugli stessi insiemi avessi usato delle topologie diverse, le funzioni non sarebbero state necessariamente continue e non ci sarebbe stato un omeomorfismo nonostante i due insiemi fossero isomorfi.
Dici quello che hai scritto nel tuo post? È certamente tutto valido, il mio post non era una risposta al tuo approccio, ma solo un metodo alternativo di vedere il problema e i quozienti con l'obiettivo di mostrare un difetto nella dimostrazione di @andreadel1988.
@andreadel1988
Parte dell'obiettivo del mio post (che avrei probabilmente dovuto chiarire meglio) è che la continuità delle funzioni non è automatica, ma segue dalla particolare scelta di topologia sullo spazio quoziente. La tua dimostrazione è solo insiemistica. Se sugli stessi insiemi avessi usato delle topologie diverse, le funzioni non sarebbero state necessariamente continue e non ci sarebbe stato un omeomorfismo nonostante i due insiemi fossero isomorfi.
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