Invarianza del polinomio minimo per estensione di campo (dubbi)

[Angus1956]

Sia $AinM_n(K)$ e $q_A(t)inK[t]$ il polinomio minimo di $A$ a coefficienti in $K$. Prendiamo un'estensione $FsupK$ e indichiamo con $q'_AinF[t]$ il polinomio minimo di $A$ in coefficienti in $F$. Mostriamo che $q'_A=q_A$:
Abbiamo che $q_A(t)inK[t]subF[t]$ per cui $q_A(A)=0$ per cui $q'_A|q_A$ (dubbio: ma questo perché $AinM_n(K)subM_n(F)$ per cui viene dal fatto che $q'_A$ è il generatore dei polinomi in $F[t]$ che si annullano in $A$?)
Poniamo $q'_A(t)=a_0+...+a_(k-1)t^(k-1)+t^k$ con $a_0,...,a_(k-1)inF$. Abbiamo che $q'_A(A)=0$ se e solo se $I,A,...,A^kinM_n(K)$ sono linearmente dipendenti su $F$ $=>$ $I,A,...,A^k$ sono linearmente dipendenti su $K$ (questa implicazione si dimostra, ma poichè ne ho capito la dimostrazione non la trascrivo). Ma allora esiste un polinomio di grado $<=k$ che si annulla in $A$ a coefficienti in $K$. Non capisco però questo cosa c'entri con mostrare che $q_A|q'_A$. Se mi potete colmare questi dubbi, grazie.

[hydro1]

"andreadel1988":Sia $AinM_n(K)$ e $q_A(t)inK[t]$ il polinomio minimo di $A$ a coefficienti in $K$. Prendiamo un'estensione $FsupK$ e indichiamo con $q'_AinF[t]$ il polinomio minimo di $A$ in coefficienti in $F$. Mostriamo che $q'_A=q_A$:
Abbiamo che $q_A(t)inK[t]subF[t]$ per cui $q_A(A)=0$ per cui $q'_A|q_A$ (dubbio: ma questo perché $AinM_n(K)subM_n(F)$ per cui viene dal fatto che $q'_A$ è il generatore dei polinomi in $F[t]$ che si annullano in $A$?)

Esatto, è il generatore monico dell'ideale dei polinomi che si annullano in $A$.

"andreadel1988":
Poniamo $q'_A(t)=a_0+...+a_(k-1)t^(k-1)+t^k$ con $a_0,...,a_(k-1)inF$. Abbiamo che $q'_A(A)=0$ se e solo se $I,A,...,A^kinM_n(K)$ sono linearmente dipendenti su $F$ $=>$ $I,A,...,A^k$ sono linearmente dipendenti su $K$ (questa implicazione si dimostra, ma poichè ne ho capito la dimostrazione non la trascrivo). Ma allora esiste un polinomio di grado $<=k$ che si annulla in $A$ a coefficienti in $K$.

E allora il polinomio minimo di $A$ su $K$ deve avere grado al più $k$. Siccome $q'_A$ divide $q_A$, ha grado $k$ anche lui ed è monico, dev'essere $q'_A=q_A$.

[Angus1956]

"hydro":

[quote="andreadel1988"]
Poniamo $q'_A(t)=a_0+...+a_(k-1)t^(k-1)+t^k$ con $a_0,...,a_(k-1)inF$. Abbiamo che $q'_A(A)=0$ se e solo se $I,A,...,A^kinM_n(K)$ sono linearmente dipendenti su $F$ $=>$ $I,A,...,A^k$ sono linearmente dipendenti su $K$ (questa implicazione si dimostra, ma poichè ne ho capito la dimostrazione non la trascrivo). Ma allora esiste un polinomio di grado $<=k$ che si annulla in $A$ a coefficienti in $K$.

E allora il polinomio minimo di $A$ su $K$ deve avere grado al più $k$. Siccome $q'_A$ divide $q_A$, ha grado $k$ anche lui ed è monico, dev'essere $q'_A=q_A$.[/quote]
Ok grazie mille

[Angus1956]

"hydro":[quote="andreadel1988"]Sia $AinM_n(K)$ e $q_A(t)inK[t]$ il polinomio minimo di $A$ a coefficienti in $K$. Prendiamo un'estensione $FsupK$ e indichiamo con $q'_AinF[t]$ il polinomio minimo di $A$ in coefficienti in $F$. Mostriamo che $q'_A=q_A$:
Abbiamo che $q_A(t)inK[t]subF[t]$ per cui $q_A(A)=0$ per cui $q'_A|q_A$ (dubbio: ma questo perché $AinM_n(K)subM_n(F)$ per cui viene dal fatto che $q'_A$ è il generatore dei polinomi in $F[t]$ che si annullano in $A$?)

Esatto, è il generatore monico dell'ideale dei polinomi che si annullano in $A$.
[/quote]
Intendi in $F[t]$? Dato che anche $q_A$ è il generatore monico dell'ideale dei polinomi che si annullano in $A$ , però in $K[t]$

[hydro1]

Sì certo.