Invarianza del gradiente per trasf. ortogonali
Riporto il testo di un esercizio in cui purtroppo non riesco proprio a capire cosa devo fare:
Forse mi confonde l'uguaglianza tra una funzione della $y$ e una funzione della $x$, ma questa proposizione mi pare falsa. Prendiamo ad esempio una $f:RR\toRR$. Come trasformazione ortogonale scegliamo $x\mapstoMx=-x$. $bar{f}(y)=f(-x)$. Mica mi pare vero che la derivata di $bar{f}$ è uguale alla derivata di $f$. Buh, per esempio non è vero che la derivata di $x$ è uguale a quella di $-x$. Ma sicuramente non sto interpretando bene il problema.
Dimostrare che, per una funzione $f$ differenziabile in $R^n$, $nabla f$ è un invariante per
trasformazioni ortogonali nello spazio (ovvero se $M$ è una matrice ortogonale e
$bar{f}(y) = f (Mx)$ allora $nablabar{f}(y)=(f_{y_1}(y),... , f_{y_n}(y))$.
Forse mi confonde l'uguaglianza tra una funzione della $y$ e una funzione della $x$, ma questa proposizione mi pare falsa. Prendiamo ad esempio una $f:RR\toRR$. Come trasformazione ortogonale scegliamo $x\mapstoMx=-x$. $bar{f}(y)=f(-x)$. Mica mi pare vero che la derivata di $bar{f}$ è uguale alla derivata di $f$. Buh, per esempio non è vero che la derivata di $x$ è uguale a quella di $-x$. Ma sicuramente non sto interpretando bene il problema.
Risposte
sinceramente non ho capito bene i tuoi passaggi e mi sono un pò perso nelle notazioni...
cmq il differenziale di uno scalare (come in questo caso) dovrebbe trasformare con l'inverso dello jacobiano trasposto (un quadrivettore covariante in relatività)... Nel caso di trasformazioni ortogonali l'inverso dello jacobiano trasposto è proprio lo jacobiano...
Forse non si capisce nulla di quanto sopra perchè è detto male, cmq il risultato è che nel tuo caso il differenziale dovrebbe cambiare di segno e quindi mi sa che ragioni bene!....
Del resto, prendi una funzione scalare su R^3 e segnati in un punto il vettore 'gradiente' che ti dice dove e come aumenta la funzione.... ora ruota il sistema di riferimento.... la funzione in quanto scalare è sempre quella, il gradiente anche, ma le sue componenti rispetto al nuovo sistema di riferimento saranno diverse!
credo funzi così!
cmq il differenziale di uno scalare (come in questo caso) dovrebbe trasformare con l'inverso dello jacobiano trasposto (un quadrivettore covariante in relatività)... Nel caso di trasformazioni ortogonali l'inverso dello jacobiano trasposto è proprio lo jacobiano...
Forse non si capisce nulla di quanto sopra perchè è detto male, cmq il risultato è che nel tuo caso il differenziale dovrebbe cambiare di segno e quindi mi sa che ragioni bene!....
Del resto, prendi una funzione scalare su R^3 e segnati in un punto il vettore 'gradiente' che ti dice dove e come aumenta la funzione.... ora ruota il sistema di riferimento.... la funzione in quanto scalare è sempre quella, il gradiente anche, ma le sue componenti rispetto al nuovo sistema di riferimento saranno diverse!
credo funzi così!
Applicando la regola per la derivazione della funzione composta e facendo i calcoli trovi $\nabla_x bar(f) (x)= \nabla_y f (Mx) \cdot M$, ove $\cdot$ è l'usuale moltiplicazione riga-colonna... Forse ciò può essere d'aiuto.
ah cmq quello che ho proposto sopra era il punto di vista passivo, in cui si cambia il SR, si induce una nuova funzione sul nuovo sistema di riferimento e si fanno là le derivata...
Il libro forse prende il punto di vista attivo, in cui si spostano i punti dello spazio, si induce una nuova funzione nel "medesimo sistema di riferimento" e la si fanno le derivate...
la situazione è analoga, ci sono di mezzo solo cambiamenti di matrici con le loro inverse....
anyway se prendete l'equazione di gugo82,la trasponete e spostate l'M^-1 a sinistra si ottiene proprio che il differenziale varia con la matrice M!
Il libro forse prende il punto di vista attivo, in cui si spostano i punti dello spazio, si induce una nuova funzione nel "medesimo sistema di riferimento" e la si fanno le derivate...
la situazione è analoga, ci sono di mezzo solo cambiamenti di matrici con le loro inverse....
anyway se prendete l'equazione di gugo82,la trasponete e spostate l'M^-1 a sinistra si ottiene proprio che il differenziale varia con la matrice M!
@thomas: mi hai convinto perfettamente. Del resto, se il gradiente fosse costante rispetto alle trasformazioni ortogonali, intuitivamente direi che, in ogni punto dello spazio, comunque trasformiamo lo spazio la direzione di massima pendenza deve restare sempre la stessa. E perciò $f$ deve essere costante. Mah, vabbé...
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