Invarianza del complemento ortogonale

[Shaka11]

Sia dato [tex]W[/tex], spazio vettoriale a dimensione finita sul corpo [tex]K[/tex].


Se [tex]V[/tex], sottospazio di [tex]V[/tex], è A-invariante ([tex]A[/tex] matrice sul corpo [tex]K[/tex] di dimensioni opportune),

cioè se [tex]x \in V \Rightarrow Ax \in V[/tex],

il complemento ortogonale di [tex]V[/tex] in [tex]W[/tex], ovvero l'insieme dei vettori di [tex]W[/tex] ortogonali a tutti i vettori di [tex]V[/tex],
è anch'esso A-invariante?

[vict85]

Prova con qualche esempio.

Prendi per esempio la matrice singolare

[tex]A = \left( \begin{array}{ccc}
1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \end{array} \right)[/tex]

e come V lo spazio generato dalle due basi [tex]\mathbf{i}[/tex] e [tex]\mathbf{j}[/tex] di [tex]\mathbb{R}^3[/tex].

Prova quindi a dedurre la risposta al tuo quesito.