Invarianti per omotopia - Connessione e separazione
Ciao a tutti. Sempre e perennemente scusandomi per la mi scarsa attività nel forum (a cui credo non riuscirò mai a porre rimedio), volevo proporre una domanda che, in parte, è già stata fatta. Mi scuso inoltre in anticipo per la rozzezza e sinteticità del seguente paragrafo.
Il problema, a livello introduttivo, è questo: la topologia generale studia, fondamentalmente, le classi di omeomorfismo degli spazi topologici, e quindi è interessata alle proprietà degli stessi che siano invarianti per omeomorfismo (delle quali è fornito un elenco particolarmente esaustivo su Wikipedia). Si vede però come la topologia generale non sia sufficiente, ad esempio, a determinare la classe di omeomorfismo di alcuni spazi (o meglio, se essi siano o no omeomorfi). Per questo "nasce" la topologia algebrica e la teoria dell'omotopia, che da un lato riesce a rendere "più fine" il setaccio omeomorfo (o, meglio, aiuta a determinare le classi di omeomorfismo), dall'altro però introduce una nuova classe di equivalenza sulla "categoria" degli spazi topologici, che è MENO FINE dell'omeomorfismo (spazi omeomorfi sono omotopicamente equivalenti, ma non vale il viceversa...).
Ecco quindi che sorge il dubbio: quali invarianti topologici sono conservati dall'omotopia? Se questa domanda è troppo grande e generale per sperare che abbia risposta (in termini di teoremi e controesempi) in questa sede, volevo però soffermarmi su due proprietà da me studiate nel (primo) corso di topologia affrontato: connessione e separazione.
Sappiamo che il numero di componenti connesse per archi è conservato, tanto da essere chiamato \(\displaystyle {\pi}_{0} \) in analogia con i gruppi di omotopia. Il numero di componenti connesse però (che in generale è più piccolo del numero di componenti connesse per archi) non è detto sia conservato. Ho visto che qui era già stato toccato l'argomento, ma non ho capito la risposta fornita: si parla di cose molto esotiche, fra cui il "Warsaw circle" che però (sempre secondo Wikipedia) è un esempio di spazio non contrattile che abbia tutti i gruppi di omotopia banali... Ciò però non ci dice se il suo numero di componenti connesse (esso è un altro di quegli esempi, come "La pulce e il pettine", di sottospazi di \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) connessi ma con due componenti connesse per archi) sia conservato nella sua classe di omotopia...
Altro invariante interessante sono, invece, le proprietà (o assiomi) di separazione, e in particolare la proprietà T2 (o "di Hausdorff"). Il mio interesse per questo invariante nasce dal problema che segue (di cui ora al momento non saprei riportare la fonte):
Ora, se l'essere di Hausdorff fosse conservato dall'omotopia, tale affermazione sarebbe sicuramente falsa: sappiamo infatti che \(\displaystyle \mathbb{R}^n / A \) non è T2, se \(\displaystyle A \) è un aperto. In particolare, inoltre, ogni sottospazio stellato di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) è contrattile, da cui il controesempio prendendo come \(\displaystyle A \) un aperto stellato.
Il problema è che da un lato l'omotopia è una condizione talmente debole che sembra intuitivamente falso che vengano conservate le proprietà di separazione; dall'altro, però, le uniche omotopie "decenti" che si conoscano sono le retrazioni per deformazione, che riguardano i sottospazi: ma l'essere di Hausdorff (o anche l'essere di Fréchet) sono proprietà che "passano ai sottospazi"...
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte, anche se fossero semplicemente segnalazioni di testi dove sono trattati questi argomenti. Per il lessico utilizzato, faccio rifermento al libro di Manetti.
Il problema, a livello introduttivo, è questo: la topologia generale studia, fondamentalmente, le classi di omeomorfismo degli spazi topologici, e quindi è interessata alle proprietà degli stessi che siano invarianti per omeomorfismo (delle quali è fornito un elenco particolarmente esaustivo su Wikipedia). Si vede però come la topologia generale non sia sufficiente, ad esempio, a determinare la classe di omeomorfismo di alcuni spazi (o meglio, se essi siano o no omeomorfi). Per questo "nasce" la topologia algebrica e la teoria dell'omotopia, che da un lato riesce a rendere "più fine" il setaccio omeomorfo (o, meglio, aiuta a determinare le classi di omeomorfismo), dall'altro però introduce una nuova classe di equivalenza sulla "categoria" degli spazi topologici, che è MENO FINE dell'omeomorfismo (spazi omeomorfi sono omotopicamente equivalenti, ma non vale il viceversa...).
Ecco quindi che sorge il dubbio: quali invarianti topologici sono conservati dall'omotopia? Se questa domanda è troppo grande e generale per sperare che abbia risposta (in termini di teoremi e controesempi) in questa sede, volevo però soffermarmi su due proprietà da me studiate nel (primo) corso di topologia affrontato: connessione e separazione.
Sappiamo che il numero di componenti connesse per archi è conservato, tanto da essere chiamato \(\displaystyle {\pi}_{0} \) in analogia con i gruppi di omotopia. Il numero di componenti connesse però (che in generale è più piccolo del numero di componenti connesse per archi) non è detto sia conservato. Ho visto che qui era già stato toccato l'argomento, ma non ho capito la risposta fornita: si parla di cose molto esotiche, fra cui il "Warsaw circle" che però (sempre secondo Wikipedia) è un esempio di spazio non contrattile che abbia tutti i gruppi di omotopia banali... Ciò però non ci dice se il suo numero di componenti connesse (esso è un altro di quegli esempi, come "La pulce e il pettine", di sottospazi di \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) connessi ma con due componenti connesse per archi) sia conservato nella sua classe di omotopia...
Altro invariante interessante sono, invece, le proprietà (o assiomi) di separazione, e in particolare la proprietà T2 (o "di Hausdorff"). Il mio interesse per questo invariante nasce dal problema che segue (di cui ora al momento non saprei riportare la fonte):
Dimostrare o confutare:
Sia \(\displaystyle X \) uno spazio topologico, e \(\displaystyle Y \subseteq X \) un suo sottospazio contrattile. Allora \(\displaystyle X / Y \) è omotopicamente equivalente a \(\displaystyle X \).
Ora, se l'essere di Hausdorff fosse conservato dall'omotopia, tale affermazione sarebbe sicuramente falsa: sappiamo infatti che \(\displaystyle \mathbb{R}^n / A \) non è T2, se \(\displaystyle A \) è un aperto. In particolare, inoltre, ogni sottospazio stellato di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) è contrattile, da cui il controesempio prendendo come \(\displaystyle A \) un aperto stellato.
Il problema è che da un lato l'omotopia è una condizione talmente debole che sembra intuitivamente falso che vengano conservate le proprietà di separazione; dall'altro, però, le uniche omotopie "decenti" che si conoscano sono le retrazioni per deformazione, che riguardano i sottospazi: ma l'essere di Hausdorff (o anche l'essere di Fréchet) sono proprietà che "passano ai sottospazi"...
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte, anche se fossero semplicemente segnalazioni di testi dove sono trattati questi argomenti. Per il lessico utilizzato, faccio rifermento al libro di Manetti.
Risposte
Finalmente una domanda interessante.
Perche' usi le virgolette?
Basta non dire quella parola a un volume di voce troppo elevato; la gente, infatti, tende a impressionarsi facilmente.
Piu' che una risposta, diciamo che provo a riformulare il problema. Chiamo \(\mathcal P\) una "proprieta' omotopica" valida nella categoria degli spazi \(\mathbf{Spc}\) se esiste un funtore \(F\colon \mathbf{Spc}\to \mathcal C\) (\(\mathcal C\) e' la categoria dove $F$ rappresenta la mia teoria dell'omotopia: i gruppi, i gruppi abeliani, i moduli su un anello...) che scende alla categoria dell'omotopia \(\text{Ho}(\mathbf{Spc})\) e che "discerne" la proprieta' \(\mathcal P\), ovvero tale che esiste una proprieta' \(\mathcal Q\) tale che \(X,Y\in\mathbf{Spc}\) hanno la proprieta' \(\mathcal P\) solo se $F(X), F(Y)$ hanno la proprieta' \(\mathcal Q\).
Chiaramente tutte le proprieta' che si esprimono gia' mediante il ricorso a funtori omotopici sono tautologicamente omotopiche; il vantaggio e' toglierti dall'imbarazzo di definire una proprieta' in puri termini geometrici (cosa che va contro lo spirito della topologia algebrica). Dando una rapida occhiata su google, la pagina di wiki sembra fatta molto male dal momento che mescola proprieta' che sono invarianti per omeomorfismo, con proprieta' che sono invarianti per omeomorfismo perche', piu' in generale, sono invarianti per omotopia. L'essere di Hausdorff non credo sia una proprieta' omotopica: ogni mappa di spazi e' omotopicamente equivalente a una inclusione tra CW-complessi (che sono Hausdorff per definizione). Quindi e' possibile partire da cose non separate e finire in cose separate, restando omotopicamente equivalenti. Forse e' possibile anche perdere la separazione; dovrei pensarci dopo aver dormito.
Abbastanza ortogonalmente, esiste una nozione di "omotopicamente Hausdorff", ma non credo sia quello che desideri: http://arxiv.org/abs/1101.0714
Non stanno esattamente cosi' le cose: a voler essere precisi il $\pi_0$ di uno spazio e' uno dei suoi insiemi di omotopia; e' un onesto insieme puntato, e infattia voler essere precisi la sequenza esatta lunga associata a una coppia di spazi, che contiene l'omotopia relativa della coppia $(X,A)$, comincia proprio con i $\pi_0$. Addirittura si puo' far derivare tutto interamente dall'applicare il funtore $\pi_0$ alla sequenza
$$
\dots \to \Omega^2 X\to \Omega F\to \Omega A\to \Omega X\to F\to A\to X
$$
via isomorfismo di Freudhental ($\pi_n(Y)\cong \pi_0(\Omega^n Y)$).
Quello che forse non sono riuscito a far filtrare da quella risposta e' che la teoria della forma nasce esattamente quando uno si rende conto che gli invarianti omotopici "classici" non sono fini abbastanza per catturare la geometria di oggetti troppo selvaggi. La categoria degli spazi topologici nel suo complesso si comporta abbastanza male sotto diversi punti di vista: e' in un certo senso "troppo grossa" e "troppo povera di struttura" per poter sperare di rappresentarla in maniera efficace via i funtori omotopici classici (omotopia, omologia, etc.). La teoria della forma di Borsuk comincia allora dove l'omotopia classica si arrende, e provvede degli invarianti piu' potenti. Detto questo, io ne ho letto qualche parola qualche tempo fa, ma non saprei riassumerti il discorso e farti orientare; ci sono varie referenze possibili, comunque:
- il libro originale di Borsuk (Shape Theory)
- Il libro di Mardesic e Segal (non ne ricordo il nome adesso)
- il libro di Cordier e Porter "Shape theory: a categorical theory of approximation"
- la pagina di $n$Lab dedicata alla teoria della forma http://ncatlab.org/nlab/show/shape+theory
PS: l'esercizio che proponi e' nelle prime pagine di Hatcher.
introduce una nuova classe di equivalenza sulla "categoria" degli spazi topologici, che è MENO FINE dell'omeomorfismo (spazi omeomorfi sono omotopicamente equivalenti, ma non vale il viceversa...).
Perche' usi le virgolette?
Basta non dire quella parola a un volume di voce troppo elevato; la gente, infatti, tende a impressionarsi facilmente.quali invarianti topologici sono conservati dall'omotopia?
Piu' che una risposta, diciamo che provo a riformulare il problema. Chiamo \(\mathcal P\) una "proprieta' omotopica" valida nella categoria degli spazi \(\mathbf{Spc}\) se esiste un funtore \(F\colon \mathbf{Spc}\to \mathcal C\) (\(\mathcal C\) e' la categoria dove $F$ rappresenta la mia teoria dell'omotopia: i gruppi, i gruppi abeliani, i moduli su un anello...) che scende alla categoria dell'omotopia \(\text{Ho}(\mathbf{Spc})\) e che "discerne" la proprieta' \(\mathcal P\), ovvero tale che esiste una proprieta' \(\mathcal Q\) tale che \(X,Y\in\mathbf{Spc}\) hanno la proprieta' \(\mathcal P\) solo se $F(X), F(Y)$ hanno la proprieta' \(\mathcal Q\).
Chiaramente tutte le proprieta' che si esprimono gia' mediante il ricorso a funtori omotopici sono tautologicamente omotopiche; il vantaggio e' toglierti dall'imbarazzo di definire una proprieta' in puri termini geometrici (cosa che va contro lo spirito della topologia algebrica). Dando una rapida occhiata su google, la pagina di wiki sembra fatta molto male dal momento che mescola proprieta' che sono invarianti per omeomorfismo, con proprieta' che sono invarianti per omeomorfismo perche', piu' in generale, sono invarianti per omotopia. L'essere di Hausdorff non credo sia una proprieta' omotopica: ogni mappa di spazi e' omotopicamente equivalente a una inclusione tra CW-complessi (che sono Hausdorff per definizione). Quindi e' possibile partire da cose non separate e finire in cose separate, restando omotopicamente equivalenti. Forse e' possibile anche perdere la separazione; dovrei pensarci dopo aver dormito.
Abbastanza ortogonalmente, esiste una nozione di "omotopicamente Hausdorff", ma non credo sia quello che desideri: http://arxiv.org/abs/1101.0714
il numero di componenti connesse per archi è conservato, tanto da essere chiamato π0 in analogia con i gruppi di omotopia
Non stanno esattamente cosi' le cose: a voler essere precisi il $\pi_0$ di uno spazio e' uno dei suoi insiemi di omotopia; e' un onesto insieme puntato, e infattia voler essere precisi la sequenza esatta lunga associata a una coppia di spazi, che contiene l'omotopia relativa della coppia $(X,A)$, comincia proprio con i $\pi_0$. Addirittura si puo' far derivare tutto interamente dall'applicare il funtore $\pi_0$ alla sequenza
$$
\dots \to \Omega^2 X\to \Omega F\to \Omega A\to \Omega X\to F\to A\to X
$$
via isomorfismo di Freudhental ($\pi_n(Y)\cong \pi_0(\Omega^n Y)$).
Ho visto che qui era già stato toccato l'argomento, ma non ho capito la risposta fornita: si parla di cose molto esotiche, fra cui il "Warsaw circle" che però (sempre secondo Wikipedia) è un esempio di spazio non contrattile che abbia tutti i gruppi di omotopia banali... Ciò però non ci dice se il suo numero di componenti connesse [...] sia conservato nella sua classe di omotopia...
Quello che forse non sono riuscito a far filtrare da quella risposta e' che la teoria della forma nasce esattamente quando uno si rende conto che gli invarianti omotopici "classici" non sono fini abbastanza per catturare la geometria di oggetti troppo selvaggi. La categoria degli spazi topologici nel suo complesso si comporta abbastanza male sotto diversi punti di vista: e' in un certo senso "troppo grossa" e "troppo povera di struttura" per poter sperare di rappresentarla in maniera efficace via i funtori omotopici classici (omotopia, omologia, etc.). La teoria della forma di Borsuk comincia allora dove l'omotopia classica si arrende, e provvede degli invarianti piu' potenti. Detto questo, io ne ho letto qualche parola qualche tempo fa, ma non saprei riassumerti il discorso e farti orientare; ci sono varie referenze possibili, comunque:
- il libro originale di Borsuk (Shape Theory)
- Il libro di Mardesic e Segal (non ne ricordo il nome adesso)
- il libro di Cordier e Porter "Shape theory: a categorical theory of approximation"
- la pagina di $n$Lab dedicata alla teoria della forma http://ncatlab.org/nlab/show/shape+theory
PS: l'esercizio che proponi e' nelle prime pagine di Hatcher.
"killing_buddha":
Finalmente una domanda interessante.
Grazie mille per la risposta anche troppo esaustiva!
"killing_buddha":
Perche' usi le virgolette?
Eh, essendo io al secondo anno di matematica, purtroppo conosco solo il nome di "categoria" e "funtore", e poco altro...
Segnalo, infine, che la soluzione all'annosa questione della separazione (almeno per la sua parte più interessante, cioè l'essere di Hausdorff) è arrivata oggi nella prova scritta dell'esame.
Si chiedeva infatti:
Sia \(\displaystyle X \) lo spazio topologico \(\displaystyle (\mathbb{R},\tau) \), dove \(\displaystyle \tau \) è la topologia che ha come aperti non banali gli insiemi \(\displaystyle \{ (-\infty,a), a > 0 \} \), e sia \(\displaystyle I \) l'intervallo \(\displaystyle [0,1] \) di \(\displaystyle \mathbb{R} \) con la topologia indotta dalla topologia euclidea. Allora:
[list=a]
[*:3e4qeptd] Si dica se la funzione \(\displaystyle F: X \times I \rightarrow X \) definita ponendo \(\displaystyle F(x,t) = t x \) è continua;[/*:m:3e4qeptd]
[*:3e4qeptd] Si dimostri che \(\displaystyle X \) è contrattile;[/*:m:3e4qeptd]
[*:3e4qeptd] Se ne deduca che l'essere di Hausdorff non è una proprietà omotopica.[/*:m:3e4qeptd][/list:o:3e4qeptd]
Ovviamente, \(\displaystyle F \) era continua, ed era anzi una deformazione di \(\displaystyle X \) su \(\displaystyle {0} \). Quindi \(\displaystyle X \), che non è di Hausdorff (ogni coppia di aperti non banali ha sempre intersezione non banale) è omotopicamente equivalente allo spazio topologico banale, che è di Hausdorff.
"pengo":
Altro invariante interessante sono, invece, le proprietà (o assiomi) di separazione, e in particolare la proprietà T2 (o "di Hausdorff"). Il mio interesse per questo invariante nasce dal problema che segue (di cui ora al momento non saprei riportare la fonte):
Dimostrare o confutare:
Sia \(\displaystyle X \) uno spazio topologico, e \(\displaystyle Y \subseteq X \) un suo sottospazio contrattile. Allora \(\displaystyle X / Y \) è omotopicamente equivalente a \(\displaystyle X \).
Ora, se l'essere di Hausdorff fosse conservato dall'omotopia, tale affermazione sarebbe sicuramente falsa: sappiamo infatti che \(\displaystyle \mathbb{R}^n / A \) non è T2, se \(\displaystyle A \) è un aperto. In particolare, inoltre, ogni sottospazio stellato di \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) è contrattile, da cui il controesempio prendendo come \(\displaystyle A \) un aperto stellato.
Che cosa intendi esattamente come \(\displaystyle X/A \)? Insomma la sottrazione insiemistica che io sappia è \(\displaystyle X\setminus A \) mentre \(\displaystyle / \) è usato più per i quozienti. Ma in generale un aperto di \(\displaystyle X \) non definisce una relazione di equivalenza. Cioè se consideriamo lo spazio \(\displaystyle X/A \) come lo spazio che coprime \(\displaystyle A \) in un punto allora direi che se io comprimo un aperto di \(\displaystyle \mathbf{R}^n \) in un punto ho ancora qualcosa di omotopicamente equivalente (se lo spazio \(\displaystyle A \) è contraibile). La dimostrazione non è neanche tanto difficile. Si fa una cosa simile in omologia.
"vict85":
Che cosa intendi esattamente come \(\displaystyle X/A \)?
Tenendo a mente l'esercizio dell'Hatcher che chiede di dimostrarlo, credo che $A\subset X$ sia un sottocomplesso di $X$, e che \(X/A\) sia il pushout
- [tex]\xymatrix{
A \ar[r]\ar[d]& X \ar[d] \\
{*} \ar[r] & X/A
}[/tex][/list:u:26m06hd7]
Direi che ha senso. Insomma sarà senz'altro così.
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