Intuizione sul teorema di Pitagora

[Sessio1]

Ho un'intuizione sul teorema di Pitagora che vorrei sapere se ha un fondamento matematico. Per intuizione in questo caso intendo la sensazione di una relazione tra proprietà geometriche di enti che intervengono nel teorema di Pitagora. Si tratta di questo: il teorema di Pitagora afferma che la somma dei quadrati costruiti sui cateti è uguale di un triangolo rettangolo è uguale al quadrato dei cateti costruiti sull'ipotenusa. Adesso spiego qual è la mia intuizione. Il teorema di Pitagora lo si può visualizzare considerando, anzichè il triangolo rettangolo, un rettangolo che ha per lati i due cateti, e sostituendo ai "cateti" il nome "lati di un rettangolo" (ovviamente intendo i due lati corrispondenti ai cateti) e al posto dell'ipotenusa la diagonale del rettangolo, ma attenzione: la diagonale che parte dal punto di incontro dei due lati, non quella considerata nel triangolo rettangolo (tanto è equivalente, quindi si può sostituire). L'intuizione è questa: considerando i due lati del rettangolo come due vettori, la diagonale (l'ipotenusa, nel teorema di Pitagora) sarà la somma vettoriale dei due lati. Qui vediamo quindi che una proprietà della diagonale (ipotenusa) è legata ai due lati del rettangolo (i due cateti). Ma l'analogia non si ferma qui: si può notare che i due lati del rettangolo sono vettori di uno spazio monodimensionale (uno fa parte dello spazio dell'ascissa, l'altro dell'ordinata, ma entrambi occupano comunque uno spazio monodimensionale), invece la diagonale (l'ipotenusa) occupa uno spazio bidimensionale, se si considera come base la coppia dei lati del rettangolo. A questo punto, pensare che l'ipotenusa è la somma dei quadrati dei cateti mi sorprende e mi cattura l'attenzione, soprattutto per quei "quadrati", perchè mi viene da pensare che il quadrato è qualcosa di bidimensionale, quindi è come se il fatto di essere la somma dei quadrati dei cateti avesse, in qualche interpretazione geometrica particolare, una relazione con il fatto che l'ipotenusa si trova sullo spazio bidimensionale definito dai due cateti. Come se la mia mente, per un processo associativo e forse intuitivo di qualche interpretazione geometrica inconscia, dicesse "i due cateti hanno una relazione con l'ipotenusa solo se si elevano all'ordine quadrato, cioè solo se si fanno passare dal piano monodimensionale al piano bidimensionale, e questo, nella relazione matematica, si esprime con il fatto che i cateti misurano l'ipotenusa solo a condizione di venire elevati al quadrato".
Non so se sono riuscito a farvi cogliere la mia intuizione.

[perplesso1]

il teorema di Pitagora afferma che la somma dei quadrati costruiti sui cateti è uguale di un triangolo rettangolo è uguale al quadrato dei cateti costruiti sull'ipotenusa

Mai sentito questo enunciato Forse volevi dire "La somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti è uguale all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa" . Ti faccio notare che l'espressione "cateti costruiti sull'ipotenusa" da te utilizzata è priva di senso.

Poi quando tu dici che un vettore genera un "spazio unidimensionale" intendi uno spazio vettoriale di dimensione 1? Perchè in quel caso cio che dici è ovvio, come è ovvio il fatto che due vettori indipendenti generano uno spazio bidimensionale e tre uno tridimensionale. Il fatto che tu veda la somma di due vettori geometrici come la diagonale di un rettangolo che ha per lati i due vettori è una costruzione che in genera si chiama "regola del parallelogramma" xD e non è una novità. Adesso mi sembra di capire che tu vedi un certo collegamento fra la regola del parallelogramma e il teorema di pitagora... e non hai tutti i torti, ma siccome il tuo discorso è un enorme miscuglio fra alcune nozioni di geometria vettoriale e alcune nozioni di geometria euclidea (come la si studia alle superiori), alla fine fai solo una gran confusione (perchè se non sai da dove parti non sai dove arrivi xD) La geometria vettoriale è una costruzione oltre che sofisticata anche molto piu astratta di quanto non lo sia la geometria che si studia alle superiori. Se stai seguendo un corso di geometria all'università, non aver fretta, prima o poi i tuoi professori ti introdurranno i concetti di spazio affine e spazio euclideo e ti mostreranno come si introducono concetti di natura metrica (norma di un vettore,misure di angoli, distanze,aree etc...) in uno spazio affine e tutto ti sarà chiaro. Cmq la tua volontà di riflettere sulle cose che impari ti fa onore, continua, ma pensa anche a studiare. Ciao

[Sessio1]

"perplesso":

il teorema di Pitagora afferma che la somma dei quadrati costruiti sui cateti è uguale di un triangolo rettangolo è uguale al quadrato dei cateti costruiti sull'ipotenusa

Mai sentito questo enunciato Forse volevi dire "La somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti è uguale all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa" . Ti faccio notare che l'espressione "cateti costruiti sull'ipotenusa" da te utilizzata è priva di senso.

Hai ragione, questo era un banale errore di formalizzazione dato dal dare per scontato e dalla fretta di spiegare il resto del ragionamento. Ti spiego perchè la mia mente si è fregata non rilevando l'errore: rileggendo il mio post ho notato l'errore sintattico di aggiunta di "di un triangolo rettangolo". Pensando che si sarebbe capito che era un banale errore di distrazione non l'ho corretto, ma pensando che era improbabile che avessi fatto due errori di distrazione vicini non ho proseguito la verifica della proposizione, perciò non mi sono accorto del secondo errore in cui scrivevo "cateti costruiti sull'ipotenusa". E' ovvio che volevo dire "quadrato costruito sull'ipotenusa. Chiarito questo, leggo il seguito della tua risposta (ancora non l'ho fatto).

[Sessio1]

"perplesso":Il fatto che tu veda la somma di due vettori geometrici come la diagonale di un rettangolo che ha per lati i due vettori è una costruzione che in genera si chiama "regola del parallelogramma" xD e non è una novità. Adesso mi sembra di capire che tu vedi un certo collegamento fra la regola del parallelogramma e il teorema di pitagora...

Sì, ma devo chiarire che la relazione tra il teorema di Pitagora e la somma vettoriale che io colgo non è ridotta all'osservazione della somma vettoriale che fa uso del teorema di Pitagora, ma anche a un'altra cosa che trovo notevole: a me colpisce che la misura dell'ipotenusa sia ricavata dalla somma dei quadrati dei cateti, cioè, poteva essere una qualunque funzione sui cateti (il doppio dei cateti, il logaritmo dei cateti, qualunque altra cosa) e invece è proprio una funzione che richiede il quadrato dei cateti! Come se quel "quadrato da costruire sui cateti" suggerisse in qualche modo che l'ipotenusa si trova su uno spazio bidimensionale (il quadrato è bidimensionale) e quindi i cateti devono "passare dal monodimensionale al bidimensionale" per raggiungere un'informazione sull'ipotenusa. Da questa osservazione mi nasce la domanda "è possibile che, in una particolare decodificazione del teorema di Pitagora, il fatto che l'ipotenusa sia legata al quadrato dei cateti sia legato al fatto che quel quadrato esprime in qualche modo che l'ipotenusa si trova sullo spazio bidimensionale generato dai cateti?". E' difficile da spiegare, perchè è un'intuizione, una specie di deja vu, che non ti fa capire se è un ricordo reale o illusorio, ma spero di averlo comunicato efficacemente.
Avevo talmente fretta di fare questa domanda che non ho ancora fatto la presentazione, per ora dico che ho dato solo tre esami di matematica e ho fatto una sospensione per dedicarmi a studi musicali, continuando per ora a studiare matematica da autodidatta (senza aver però ancora organizzato un programma di studi rigoroso) e tenendo in sospeso la ripresa della facoltà (che comunque non è condizione necessaria per lo studio della matematica). Ciao!