Intuire la chiusura e l'interno
Ciao a tutti, ho qualche problema con chiusura e interno di sottoinsiemi di spazi metrici.
Uso le seguenti definizioni:
Sia [tex](X,d)[/tex] spazio metrico, [tex]S \subseteq X[/tex], [tex]S[/tex] è aperto se e solo se [tex]\forall x \in S, \exists \epsilon > 0 / B(x,\epsilon] \subseteq S[/tex].
[tex]S[/tex] è chiuso se e solo se il suo complementare è aperto.
[tex]Cl(S) = \bigcap C / C[/tex] chiuso, [tex]C \supseteq S[/tex].
[tex]Int(S) = \bigcup A / A[/tex] aperto, [tex]A \subseteq S[/tex].
Il problema è che io quando lavoro con queste nozioni, rappresento gli insiemi come cerchi, ovali... sottoinsiemi di [tex]R^2[/tex] insomma, dove la distanza è la metrica euclidea e le palle sono cerchi, così vado meglio a figurarmi la situazione. A questo punto il disegno suggerisce molte proprietà, alcune delle quali sono vere in un qualsiasi spazio metrico, altre possono invece non esserlo e non fanno altro che distrarmi durante la risoluzione. In particolare, la chiusura e l'interno di un insieme me li immagino come l'insieme a cui "aggiungo il bordo" e l'insieme a cui "tolgo il bordo" e così finisco per chiedermi cose tipo:
1) è vero che [tex]Cl(S) = Cl(Int(S))[/tex] e che [tex]Int(S)=Int(Cl(S))[/tex]?
Che valga un'inclusione è banale, ma l'altra non riesco a dimostrarla nè a confutarla con un controesempio.
2) È vero che [tex]Cl(B(x,\epsilon[)=B(x,\epsilon][/tex] e che [tex]Int(B(x,\epsilon])=B(x,\epsilon[[/tex] per ogni spazio metrico?
Per dimostrare la prima, ho provato a fare così:
ovviamente [tex]B(x,\epsilon][/tex] è un chiuso che contiene [tex]B(x,\epsilon[[/tex], per dimostrare che è il minimo basta dimostrare che comunque preso [tex]z \in X / d(z,x)=\epsilon[/tex] si ha che [tex]\forall C[/tex] chiuso [tex]/ C \supseteq B(x,\epsilon[, C \ni z[/tex]. Se per assurdo esiste un chiuso [tex]C[/tex] che contiene la palla aperta ma non [tex]z[/tex], poiché [tex]z[/tex] appartiene ad un aperto (il complementare di [tex]C[/tex]) [tex]\exists \delta > 0 / B(z,\delta] \cap C = \oslash[/tex]. Da questo voglio ricavare un assurdo, trovando un punto di [tex]B(z,\delta][/tex] che appartenga a [tex]B(x,\epsilon[[/tex], cosa che contraddirrebbe il fatto che [tex]C \supseteq B(x,\epsilon[[/tex]. Il punto è che con un disegno la cosa sembra ovvia, ma non riesco a dimostrarla formalmente. Qualcuno mi può aiutare?
Uso le seguenti definizioni:
Sia [tex](X,d)[/tex] spazio metrico, [tex]S \subseteq X[/tex], [tex]S[/tex] è aperto se e solo se [tex]\forall x \in S, \exists \epsilon > 0 / B(x,\epsilon] \subseteq S[/tex].
[tex]S[/tex] è chiuso se e solo se il suo complementare è aperto.
[tex]Cl(S) = \bigcap C / C[/tex] chiuso, [tex]C \supseteq S[/tex].
[tex]Int(S) = \bigcup A / A[/tex] aperto, [tex]A \subseteq S[/tex].
Il problema è che io quando lavoro con queste nozioni, rappresento gli insiemi come cerchi, ovali... sottoinsiemi di [tex]R^2[/tex] insomma, dove la distanza è la metrica euclidea e le palle sono cerchi, così vado meglio a figurarmi la situazione. A questo punto il disegno suggerisce molte proprietà, alcune delle quali sono vere in un qualsiasi spazio metrico, altre possono invece non esserlo e non fanno altro che distrarmi durante la risoluzione. In particolare, la chiusura e l'interno di un insieme me li immagino come l'insieme a cui "aggiungo il bordo" e l'insieme a cui "tolgo il bordo" e così finisco per chiedermi cose tipo:
1) è vero che [tex]Cl(S) = Cl(Int(S))[/tex] e che [tex]Int(S)=Int(Cl(S))[/tex]?
Che valga un'inclusione è banale, ma l'altra non riesco a dimostrarla nè a confutarla con un controesempio.
2) È vero che [tex]Cl(B(x,\epsilon[)=B(x,\epsilon][/tex] e che [tex]Int(B(x,\epsilon])=B(x,\epsilon[[/tex] per ogni spazio metrico?
Per dimostrare la prima, ho provato a fare così:
ovviamente [tex]B(x,\epsilon][/tex] è un chiuso che contiene [tex]B(x,\epsilon[[/tex], per dimostrare che è il minimo basta dimostrare che comunque preso [tex]z \in X / d(z,x)=\epsilon[/tex] si ha che [tex]\forall C[/tex] chiuso [tex]/ C \supseteq B(x,\epsilon[, C \ni z[/tex]. Se per assurdo esiste un chiuso [tex]C[/tex] che contiene la palla aperta ma non [tex]z[/tex], poiché [tex]z[/tex] appartiene ad un aperto (il complementare di [tex]C[/tex]) [tex]\exists \delta > 0 / B(z,\delta] \cap C = \oslash[/tex]. Da questo voglio ricavare un assurdo, trovando un punto di [tex]B(z,\delta][/tex] che appartenga a [tex]B(x,\epsilon[[/tex], cosa che contraddirrebbe il fatto che [tex]C \supseteq B(x,\epsilon[[/tex]. Il punto è che con un disegno la cosa sembra ovvia, ma non riesco a dimostrarla formalmente. Qualcuno mi può aiutare?
Risposte
Per quanto riguarda la prima domanda, pensa ad un insieme [tex]$S$[/tex] composto da un cerchio unito alla circonferenza che lo delimita (più tecnicamente pensa a un disco chiuso) e da punto non ad esso aderente in [tex]$(\mathbb{R}^2;\mathcal{T}_{\mathrm{nat}})$[/tex]; è vero quanto richiedi?
Per quanto riguarda la seconda domanda, se ne discusse in questo esercizio!
Per quanto riguarda la seconda domanda, se ne discusse in questo esercizio!
Ti ringrazio! Perfetto 
Prego, di nulla! 
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