Introduzione ai tensori
Buongiorno a tutti,
sto frequentando il terzo anno di ingegneria, e durante il corso di scienza delle costruzioni il professore ha fatto un ripasso sui tensori di secondo ordine, dando per scontato che li avessimo già studiati nei corsi di algebra lineare.
Io mi sono ritrovato spiazzato, e nonostante lui non chieda nè dimostrazioni nè teoria generale (niente tensori di dimensione generica o notazione di Einstein) non ho capito assolutamente nulla a lezione.
Quello che ho capito è che i tensori doppi dovrebbero essere tutte e sole le matrici associate ad una trasforamazione lineare, dico bene?
Vorrei capire qualcosa di più del senso della questione, senza però complicarmi la vita con dimostrazioni e tanta teoria, e su internet trovo solo trattazioni troppo avanzate per il mio livello.
Qualcuno per caso conosce qualche buon sito, o dispensa, adatta al mio scopo?
Grazie, Lorenzo
sto frequentando il terzo anno di ingegneria, e durante il corso di scienza delle costruzioni il professore ha fatto un ripasso sui tensori di secondo ordine, dando per scontato che li avessimo già studiati nei corsi di algebra lineare.
Io mi sono ritrovato spiazzato, e nonostante lui non chieda nè dimostrazioni nè teoria generale (niente tensori di dimensione generica o notazione di Einstein) non ho capito assolutamente nulla a lezione.
Quello che ho capito è che i tensori doppi dovrebbero essere tutte e sole le matrici associate ad una trasforamazione lineare, dico bene?
Vorrei capire qualcosa di più del senso della questione, senza però complicarmi la vita con dimostrazioni e tanta teoria, e su internet trovo solo trattazioni troppo avanzate per il mio livello.
Qualcuno per caso conosce qualche buon sito, o dispensa, adatta al mio scopo?
Grazie, Lorenzo
Risposte
Pure io ebbi esattamente il tuo stesso problema qualche mese fa:
definizione-di-covettore-t67904.html
in particolare, a questo punto della discussione:
post478430.html#p478430
Prova a consultare i due testi che ho lasciato come riferimento nel link. Specialmente ti consiglio il piccolo pdf di Sharipov che è corto e chiarissimo.
definizione-di-covettore-t67904.html
in particolare, a questo punto della discussione:
post478430.html#p478430
Prova a consultare i due testi che ho lasciato come riferimento nel link. Specialmente ti consiglio il piccolo pdf di Sharipov che è corto e chiarissimo.
Molte grazie, sto leggendo il materiale che mi hai fornito, vediamo come va 
Ho letto i primi capitoli dello Sharipov (fatto molto bene), ed ho notato che il livello di profondità necessario per il mio corso di costruzioni è nettamente inferiore. Comunque lettura molto interessante per cultura personale 
Queste sono le mie definizioni:
Def.(forma lineare) Sia $V$ uno spazio vettoriale, si dice forma lineare o covettore una funzione del tipo $f:V->RR$ , $\vec v|->f(\vec v)$ tale che $AA a,b in RR$ e $AA \vec u,\vec v in V$ risulti $ f(a\vec u + b\vec v)=af(\vec v)+bf(\vec v)$
Teo. Sia $f$ una forma lineare e $\vec f, \vec v in V $, allora esiste uno e un solo vettore $\vec v$ tale che $f(\vec v)=\vec f * \vec v$ , dove con $*$ si intende l'usuale prodotto scalare
Nello Sharipov a quanto ho capito la cosa è molto simile per i covettori, sono praticamente dei vettori pensati come "righe" invece che come "colonne" a quanto ho capito.
Def.(tensore doppio): Sia $V$ uno spazio vettoriale, si dice tensore doppio un'applicazione $f:V->V$ , $\vec v |->\vec u= A\vec v$ tale che $AA a,b in RR$ e $AA \vec u,\vec v in V$ risulti $A(a\vec u + b\vec v)=aV\vec u + bA\vecv$
Ora iniziano le difficoltà, con la definizione di trasposto:
Def.(trasposto) Sia $A$ un tensore del secondo ordine, si dice trasposto di $A$ e si indica con $A^t$ il tensore che $AA \vec u,\vec v in V$ verifica $(A^t \vec u)*\vec v=\vec u*(A \vec v)$
Secondo me è diverso dalle matrici, anche se non capisco bene cosa faccia questa operazione..
E poi la definizione di prodotto tensoriale (a questo punto siamo in alto mare
):
Def.(prodotto tensoriale) Siano $\vec a,\vec b in V$, si dice prodotto tensoriale di $\vec a$ e $\vec b$ il tensore doppio definito $AA \vec u,\vec v in V$ dall'uguaglianza $(\vec a x \vec b)\vec v=(\vec b*\vec v)\vec a$ (andrebbe la "x" cerchiata, ma non trovo il simbolo)
Qui non riesco nemmeno a capire dove sta il tensore se ho solo 3 vettori
Ho postato un papiro, ma questo è più o meno tutto e solo ciò che abbiamo detto a lezione sui tensori, spero che qualcuno sia così buono da chiarirmi le idee su queste ultime due operazioni.
Grazie, Lorenzo
Queste sono le mie definizioni:
Def.(forma lineare) Sia $V$ uno spazio vettoriale, si dice forma lineare o covettore una funzione del tipo $f:V->RR$ , $\vec v|->f(\vec v)$ tale che $AA a,b in RR$ e $AA \vec u,\vec v in V$ risulti $ f(a\vec u + b\vec v)=af(\vec v)+bf(\vec v)$
Teo. Sia $f$ una forma lineare e $\vec f, \vec v in V $, allora esiste uno e un solo vettore $\vec v$ tale che $f(\vec v)=\vec f * \vec v$ , dove con $*$ si intende l'usuale prodotto scalare
Nello Sharipov a quanto ho capito la cosa è molto simile per i covettori, sono praticamente dei vettori pensati come "righe" invece che come "colonne" a quanto ho capito.
Def.(tensore doppio): Sia $V$ uno spazio vettoriale, si dice tensore doppio un'applicazione $f:V->V$ , $\vec v |->\vec u= A\vec v$ tale che $AA a,b in RR$ e $AA \vec u,\vec v in V$ risulti $A(a\vec u + b\vec v)=aV\vec u + bA\vecv$
Ora iniziano le difficoltà, con la definizione di trasposto:
Def.(trasposto) Sia $A$ un tensore del secondo ordine, si dice trasposto di $A$ e si indica con $A^t$ il tensore che $AA \vec u,\vec v in V$ verifica $(A^t \vec u)*\vec v=\vec u*(A \vec v)$
Secondo me è diverso dalle matrici, anche se non capisco bene cosa faccia questa operazione..
E poi la definizione di prodotto tensoriale (a questo punto siamo in alto mare
):Def.(prodotto tensoriale) Siano $\vec a,\vec b in V$, si dice prodotto tensoriale di $\vec a$ e $\vec b$ il tensore doppio definito $AA \vec u,\vec v in V$ dall'uguaglianza $(\vec a x \vec b)\vec v=(\vec b*\vec v)\vec a$ (andrebbe la "x" cerchiata, ma non trovo il simbolo)
Qui non riesco nemmeno a capire dove sta il tensore se ho solo 3 vettori
Ho postato un papiro, ma questo è più o meno tutto e solo ciò che abbiamo detto a lezione sui tensori, spero che qualcuno sia così buono da chiarirmi le idee su queste ultime due operazioni.
Grazie, Lorenzo
@anonymous_ed8f11
In Scienza delle costruzioni e Tecnica delle costruzioni, il concetto di tensore viene introdotto principalmente per tener conto della loro legge di trasformazione sotto rotazioni spaziali. Per fare un esempio, dato il tensore degli sforzi in un particolare sistema di riferimento, potrebbe risultare utile determinarlo in un sistema di riferimento ruotato rispetto al primo. Se posso darti un consiglio, per ora lo vedrei come una semplice matrice. Sono pronto a scommettere che, proseguendo il corso, non sentirai più l'esigenza di una tale rigorosa e pesante formalizzazione.
In Scienza delle costruzioni e Tecnica delle costruzioni, il concetto di tensore viene introdotto principalmente per tener conto della loro legge di trasformazione sotto rotazioni spaziali. Per fare un esempio, dato il tensore degli sforzi in un particolare sistema di riferimento, potrebbe risultare utile determinarlo in un sistema di riferimento ruotato rispetto al primo. Se posso darti un consiglio, per ora lo vedrei come una semplice matrice. Sono pronto a scommettere che, proseguendo il corso, non sentirai più l'esigenza di una tale rigorosa e pesante formalizzazione.
Spero fortemente che tu abbia ragione! 
Una cosa importante però che vorrei capire è se l'algebra delle matrici è applicabile ai tensori doppi. Voglio dire che se ci sono alcune operazioni che in componenti coi tensori vanno fatte diversemente dalle matrici rischio di fare grossi errori.
Ad esempio per le matrici fare la trasposta significa solo che se $A={a_{ij}}$ e $B={b_{ij}}$ si dice che $B=A^t <=>a_{ij}=b_{ji} $, e non ho mai visto una formula come quella che ho scritto prima per i tensori.
Inoltre un prodotto tensoriale non capisco cosa fa con le componenti dei vettori in ingresso, e cosa associa loro
Una cosa importante però che vorrei capire è se l'algebra delle matrici è applicabile ai tensori doppi. Voglio dire che se ci sono alcune operazioni che in componenti coi tensori vanno fatte diversemente dalle matrici rischio di fare grossi errori.
Ad esempio per le matrici fare la trasposta significa solo che se $A={a_{ij}}$ e $B={b_{ij}}$ si dice che $B=A^t <=>a_{ij}=b_{ji} $, e non ho mai visto una formula come quella che ho scritto prima per i tensori.
Inoltre un prodotto tensoriale non capisco cosa fa con le componenti dei vettori in ingresso, e cosa associa loro
"anonymous_ed8f11":
Def.(prodotto tensoriale) Siano $\vec a,\vec b in V$, si dice prodotto tensoriale di $\vec a$ e $\vec b$ il tensore doppio definito $AA \vec u,\vec v in V$ dall'uguaglianza $(\vec a x \vec b)\vec v=(\vec b*\vec v)\vec a$ (andrebbe la "x" cerchiata, ma non trovo il simbolo)
Consideriamo il prodotto tensoriale tra $2$ vettori. Lo puoi vedere come un prodotto matriciale il cui risultato è una matrice $3*3$:
$vecaxvecb=((a_1),(a_2),(a_3))((b_1,b_2,b_3))=((a_1b_1,a_1b_2,a_1b_3),(a_2b_1,a_2b_2,a_2b_3),(a_3b_1,a_3b_2,a_3b_3))$
Dovresti aver visto qualcosa del genere durante il corso di Geometria, quando si introducono i proiettori, quelle trasformazioni che proiettano un vettore generico lungo una direzione assegnata. Basta utilizzare un versore che individua la direzione medesima:
$vecuxvecu=((u_1),(u_2),(u_3))((u_1,u_2,u_3))=((u_1^2,u_1u_2,u_1u_3),(u_2u_1,u_2^2,u_2u_3),(u_3u_1,u_3u_2,u_3^2))$
Infatti, se lo fai agire su un vettore generico e applichi la proprietà associativa (calcolando prima il prodotto matriciale sulla destra si ottiene un normale prodotto scalare), è evidente che si ottiene il risultato desiderato:
$(vecuxvecu)vecv=((u_1),(u_2),(u_3))((u_1,u_2,u_3))((v_1),(v_2),(v_3))=(u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3)((u_1),(u_2),(u_3))$
Tornando alla definizione, potendo applicare il prodotto tensoriale su un vettore generico, essa risulta più facilmente comprensibile:
$(vecaxvecb)vecv=((a_1b_1,a_1b_2,a_1b_3),(a_2b_1,a_2b_2,a_2b_3),(a_3b_1,a_3b_2,a_3b_3))((v_1),(v_2),(v_3))$
$(vecaxvecb)vecv=((a_1b_1v_1+a_1b_2v_2+a_1b_3v_3),(a_2b_1v_1+a_2b_2v_2+a_2b_3v_3),(a_3b_1v_1+a_3b_2v_2+a_3b_3v_3))$
$(vecaxvecb)vecv=(b_1v_1+b_2v_2+b_3v_3)((a_1),(a_2),(a_3))$
$(vecaxvecb)vecv=(vecb*vecv)veca$
In ogni modo, continua a valere il mio consiglio precedente.
Guarda, se riesci a leggere un po' più in profondita nello Sharipov si chiarirà tutto in un baleno. Ti anticipo qualche punto saliente e ti riporto qualche conclusione a cui sono giunto nel topic linkato con l'aiuto di david_e.
Secondo la definizione classica, un tensore \(t\) di tipo \(r, s\) su uno spazio vettoriale reale \(V\), una cui base è \(e=(e_1 \ldots e_n)\), è una lista \(t^{i_1 \ldots i_r}_{j_1 \ldots j_s}\) di scalari dipendente dalla base \(e\) nel modo seguente.
Se \(\hat{e}\) è un'altra base di \(V\), introdotte le matrici di transizione (diretta e inversa rispettivamente)
\[\hat{e}_j=S^i_je_i, \qquad e_j=T^i_j\hat{e}^i_j \]
le coordinate di \(t\) rispetto a \(\hat{e}\) sono
\[\hat{t}^{i_1 \ldots i_r}_{j_1 \ldots j_s}=T^{i_1}_{h_1} \ldots T^{i_r}_{h_r}S^{k_1}_{j_1}\ldots S^{k_s}_{j_s}t^{h_1}_{k_1} \ldots t^{h_r}_{k_s}.\]
(Mnemonicamente: ogni indice di controvarianza va saturato con una matrice inversa, ogni indice di covarianza va saturato con una matrice diretta).
Niente di sorprendente se pensi che anche per i vettori noi facciamo una cosa del genere: un vettore di \(\mathbb{R}^3\), ad esempio, non è solo una lista di componenti \((v_x, v_y, v_z)\), perché c'è il tacito accordo che essa cambierà se cambia il sistema di riferimento. E infatti i vettori sono precisamente i tensori di tipo \((1, 0)\). Ma è così per tutti gli oggetti dell'algebra lineare: covettori, operatori lineari, forme bilineari, possono tutti essere visti come tensori di tipo opportuno.
Ora nel contesto della meccanica dei continui hanno particolare importanza i tensori doppi, ovvero quelli di tipo \((2, 0), (1, 1), (0, 2)\). Si tratta di liste a due indici: \(t^{ij}, t^i_j, t_{ij}\) rispettivamente, ed è quindi perfettamente naturale rappresentarle con matrici. Aggiungiamo inoltre che nel contesto degli spazi Euclidei non è particolarmente importante distinguere tra gli indici alti e gli indici bassi, perché mediante il prodotto scalare (che è fissato una volta per tutte) si possono identificare vettori e covettori, e dunque (per estensione), tensori di tipo \((r,s)\) e di tipo \((r+s, 0)\) o \((0, s+r)\). Visto che la meccanica dei continui è ambientata in un contesto Euclideo, si parla più semplicemente di tensori doppi senza specificarne il tipo. Essi sono pensati come matrici, in accordo con quanto detto da speculor, con l'accortezza che si tratta di matrici dipendenti dalla scelta di un sistema di riferimento.
Secondo la definizione classica, un tensore \(t\) di tipo \(r, s\) su uno spazio vettoriale reale \(V\), una cui base è \(e=(e_1 \ldots e_n)\), è una lista \(t^{i_1 \ldots i_r}_{j_1 \ldots j_s}\) di scalari dipendente dalla base \(e\) nel modo seguente.
Se \(\hat{e}\) è un'altra base di \(V\), introdotte le matrici di transizione (diretta e inversa rispettivamente)
\[\hat{e}_j=S^i_je_i, \qquad e_j=T^i_j\hat{e}^i_j \]
le coordinate di \(t\) rispetto a \(\hat{e}\) sono
\[\hat{t}^{i_1 \ldots i_r}_{j_1 \ldots j_s}=T^{i_1}_{h_1} \ldots T^{i_r}_{h_r}S^{k_1}_{j_1}\ldots S^{k_s}_{j_s}t^{h_1}_{k_1} \ldots t^{h_r}_{k_s}.\]
(Mnemonicamente: ogni indice di controvarianza va saturato con una matrice inversa, ogni indice di covarianza va saturato con una matrice diretta).
Niente di sorprendente se pensi che anche per i vettori noi facciamo una cosa del genere: un vettore di \(\mathbb{R}^3\), ad esempio, non è solo una lista di componenti \((v_x, v_y, v_z)\), perché c'è il tacito accordo che essa cambierà se cambia il sistema di riferimento. E infatti i vettori sono precisamente i tensori di tipo \((1, 0)\). Ma è così per tutti gli oggetti dell'algebra lineare: covettori, operatori lineari, forme bilineari, possono tutti essere visti come tensori di tipo opportuno.
Ora nel contesto della meccanica dei continui hanno particolare importanza i tensori doppi, ovvero quelli di tipo \((2, 0), (1, 1), (0, 2)\). Si tratta di liste a due indici: \(t^{ij}, t^i_j, t_{ij}\) rispettivamente, ed è quindi perfettamente naturale rappresentarle con matrici. Aggiungiamo inoltre che nel contesto degli spazi Euclidei non è particolarmente importante distinguere tra gli indici alti e gli indici bassi, perché mediante il prodotto scalare (che è fissato una volta per tutte) si possono identificare vettori e covettori, e dunque (per estensione), tensori di tipo \((r,s)\) e di tipo \((r+s, 0)\) o \((0, s+r)\). Visto che la meccanica dei continui è ambientata in un contesto Euclideo, si parla più semplicemente di tensori doppi senza specificarne il tipo. Essi sono pensati come matrici, in accordo con quanto detto da speculor, con l'accortezza che si tratta di matrici dipendenti dalla scelta di un sistema di riferimento.
Grazie a tutti e due, finalmente ci sto venendo fuori
Ho provato a sviluppare i prodotti come consigliato da speculor e ho verificato che le operazioni sulle quali avevo dei dubbi!
Comunque in generale vedo che quando nel libro vengono fatte dimostrazioni usando le proprietà dei tensori mi trovo sempre molto in difficoltà, devo scrivere tutto in componenti sennò non ne vengo fuori. Spero che in classe faremo un po' di sano esercizio coi buoni vecchi "numeretti", altrimenti la vedo nera se tutto il corso è così: tra diagonalizzazione dei tensori e circonferenza di Mohr sono nel panico.
E pensare che con le matrici non ho mai avuto problemi!
Ho provato a sviluppare i prodotti come consigliato da speculor e ho verificato che le operazioni sulle quali avevo dei dubbi!
Comunque in generale vedo che quando nel libro vengono fatte dimostrazioni usando le proprietà dei tensori mi trovo sempre molto in difficoltà, devo scrivere tutto in componenti sennò non ne vengo fuori. Spero che in classe faremo un po' di sano esercizio coi buoni vecchi "numeretti", altrimenti la vedo nera se tutto il corso è così: tra diagonalizzazione dei tensori e circonferenza di Mohr sono nel panico.
E pensare che con le matrici non ho mai avuto problemi!
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